Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique.
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Passo 1
O enunciado pede para avaliar a existência do limite
Lista das informações dadas e do que é pedido:
- Estamos calculando um limite bidimensional quando
se aproxima de pela região em que e (isso é indicado por ). - A função sob o limite é a raiz quadrada de uma fração cujo numerador aparece como
e denominador . - Precisamos decidir se o limite existe e, se existir, determinar seu valor; se não existir, justificar.
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão algébrica dentro da raiz, pois há termos que se cancelam. Observe o numerador:
Portanto a função fica
Passo 3
Façamos observações elementares sobre sinais e desigualdades úteis:
- Como
e , temos e . Assim a quantidade dentro da raiz é não negativa, e é bem definida e não negativa. - Note que
(porque ). Então
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (todas quantidades são não negativas) obtemos
Passo 4
Agora conectamos
com a distância euclidiana até a origem. Defina
Como
(lembre que
nesta aproximação), temos
. Portanto
Combinando com a desigualdade do passo anterior, achamos
Passo 5
Vou lembrar formalmente a definição de limite que vamos usar (versão para duas variáveis com aproximação pela região
) de forma simples e prática: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
e
então
.
Queremos provar que
satisfaz essa definição.
Passo 6
Usamos a desigualdade obtida no passo 4. Para qualquer
com
e
temos
Dado um
, escolha
Se
, então
. Assim, para tais pontos
Isto mostra exatamente a condição necessária da definição: para todo
existe
tal que quando
(com
) então
.
Passo 7
Concluímos, pelo argumento epsilon–delta acima, que o limite existe e vale
.
Para reforçar a intuição, veja alguns caminhos:
- Pelo caminho
(permitido pela aproximação em se aproximarmos com ), temos quando . - Pelo caminho
com constante, obtemos .
Esses exemplos são consistentes com a prova formal que deu o resultado para todos os caminhos.