Nos exercicios de I a 4, determine se a fórmula define y como uma sunção de r. Caso a resposta seja nāo, justifique.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a fórmula
define
como uma função de
. Informações dadas:
- A fórmula escrita é
. - Há uma figura (um gráfico) anexa que mostra uma parábola com concavidade para cima (imagem enviada).
A pergunta a responder é: “essa fórmula definecomo função de ?” Se a resposta for não, justificar.
Passo 2
O que significa "definir
como função de
"? Explicando bem devagar e com calma:
- Uma função de
é uma regra que, para cada valor de no domínio, entrega exatamente um valor de . - Em linguagem simples: se eu escolher um
, deve haver um único associado; não pode haver dois diferentes para o mesmo . - Duas maneiras práticas de checar: (a) analiticamente — ver se a expressão dá um único valor para cada
; (b) graficamente — usar o “teste da linha vertical”: se qualquer linha vertical corta o gráfico em no máximo um ponto, então é função (cada tem no máximo um ).
Passo 3
Interprete corretamente o símbolo
. Há duas leituras possíveis:
- Leitura A (a mais comum em exercícios): o símbolo
indica que existem duas fórmulas separadas a considerar, isto é, duas funções distintas: e . Cada uma é tratada isoladamente. - Leitura B (menos comum aqui): interpretar
dois possíveis valores de
ao mesmo tempo (isto é, a relação é o conjunto dos pontos que satisfazem ou simultaneamente).
Vou analisar ambas as leituras para não deixar dúvida.)
Passo 4
Análise pela Leitura A (duas fórmulas separadas):
- Fixe um
. Calcule . O número é único (por exemplo, se , então ). - Em seguida compute
ou . Em cada caso o resultado é um único número. Por exemplo, para : -
. -
.
-
- Conclusão desta leitura: cada uma das expressões
e dá, para cada , exatamente um . Portanto cada uma define como função de . O domínio natural de ambas é o conjunto de todos os números reais .
Passo 5
Análise pela Leitura B (a relação que permite os dois sinais simultaneamente):
- Se a notação for entendida como "o par
pertence à relação quando ou quando ", então para um fixo existem dois pontos da relação, com distinto (por exemplo, para os dois pontos seriam e ). - Nesse caso a relação associa ao mesmo
dois valores diferentes de , logo NÃO é uma função (violaria a regra "um único para cada ").
Passo 6
Análise gráfica (teste da linha vertical) para reforçar:
- O gráfico de
é uma parábola com eixo de simetria e vértice em . Qualquer linha vertical corta essa parábola em no máximo um ponto — portanto passa no teste e é função. - O gráfico de
é uma parábola semelhante deslocada para baixo (vértice em ); também passa no teste da linha vertical e é função. - O conjunto união dos dois gráficos (se alguém desenhar ambas as parábolas ao mesmo tempo e considerar a relação que contém pontos de ambas) é tal que uma linha vertical pode cortar os dois ramos (dois pontos) — nesse caso a união NÃO seria um gráfico de função única.
Passo 7
Resumo didático para a prova (o que escrever numa resposta curta e segura):
- Se interpretado como duas fórmulas separadas: afirmar que ambas definem funções; justificar dizendo que para cada
cada expressão produz um único . - Se interpretado como uma única relação que admite ambos os sinais ao mesmo tempo: afirmar que não é função, justificando que um mesmo
teria dois distintos (ex.: dá e ).
Resposta
Sim — interpretando
como duas fórmulas separadas, tanto
quanto
definem
como função de
.
Não — se a notação for entendida como a única relação que permite ambos os sinais simultaneamente (ou seja, a união dos dois ramos), essa relação não é função porque para um mesmo existem dois valores possíveis de
.
Não — se a notação for entendida como a única relação que permite ambos os sinais simultaneamente (ou seja, a união dos dois ramos), essa relação não é função porque para um mesmo