Nos exercicios de I a 4, determine se a fórmula define y como uma sunção de r. Caso a resposta seja nāo, justifique.
y=x^{2} \pm 3

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a fórmula y=x^{2}\pm 3 define y como uma função de x. Informações dadas:
  • A fórmula escrita é y=x^{2}\pm 3.
  • Há uma figura (um gráfico) anexa que mostra uma parábola com concavidade para cima (imagem enviada).
    A pergunta a responder é: “essa fórmula define y como função de x?” Se a resposta for não, justificar.

Passo 2

O que significa "definir y como função de x"? Explicando bem devagar e com calma:
  • Uma função de x é uma regra que, para cada valor de x no domínio, entrega exatamente um valor de y.
  • Em linguagem simples: se eu escolher um x, deve haver um único y associado; não pode haver dois diferentes y para o mesmo x.
  • Duas maneiras práticas de checar: (a) analiticamente — ver se a expressão dá um único valor para cada x; (b) graficamente — usar o “teste da linha vertical”: se qualquer linha vertical corta o gráfico em no máximo um ponto, então é função (cada x tem no máximo um y).

Passo 3

Interprete corretamente o símbolo \pm. Há duas leituras possíveis:
  • Leitura A (a mais comum em exercícios): o símbolo \pm indica que existem duas fórmulas separadas a considerar, isto é, duas funções distintas: y=x^{2}+3 e y=x^{2}-3. Cada uma é tratada isoladamente.
  • Leitura B (menos comum aqui): interpretar \,y=x^{2}\pm 3\,$ como uma única relação que permite para cada \(x dois possíveis valores de y ao mesmo tempo (isto é, a relação é o conjunto dos pontos que satisfazem y=x^{2}+3 ou y=x^{2}-3 simultaneamente).
Vou analisar ambas as leituras para não deixar dúvida.)

Passo 4

Análise pela Leitura A (duas fórmulas separadas):
  • Fixe um x. Calcule x^{2}. O número x^{2} é único (por exemplo, se x=2, então x^{2}=4).
  • Em seguida compute x^{2}+3 ou x^{2}-3. Em cada caso o resultado é um único número. Por exemplo, para x=2:
    • y=x^{2}+3\Rightarrow y=2^{2}+3=4+3=7.
    • y=x^{2}-3\Rightarrow y=2^{2}-3=4-3=1.
  • Conclusão desta leitura: cada uma das expressões y=x^{2}+3 e y=x^{2}-3 dá, para cada x, exatamente um y. Portanto cada uma define y como função de x. O domínio natural de ambas é o conjunto de todos os números reais \mathbb{R}.

Passo 5

Análise pela Leitura B (a relação que permite os dois sinais simultaneamente):
  • Se a notação for entendida como "o par (x,y) pertence à relação quando y=x^{2}+3 ou quando y=x^{2}-3", então para um x fixo existem dois pontos da relação, com y distinto (por exemplo, para x=2 os dois pontos seriam (2,7) e (2,1)).
  • Nesse caso a relação associa ao mesmo x dois valores diferentes de y, logo NÃO é uma função (violaria a regra "um único y para cada x").

Passo 6

Análise gráfica (teste da linha vertical) para reforçar:
  • O gráfico de y=x^{2}+3 é uma parábola com eixo de simetria x=0 e vértice em (0,3). Qualquer linha vertical corta essa parábola em no máximo um ponto — portanto passa no teste e é função.
  • O gráfico de y=x^{2}-3 é uma parábola semelhante deslocada para baixo (vértice em (0,-3)); também passa no teste da linha vertical e é função.
  • O conjunto união dos dois gráficos (se alguém desenhar ambas as parábolas ao mesmo tempo e considerar a relação que contém pontos de ambas) é tal que uma linha vertical pode cortar os dois ramos (dois pontos) — nesse caso a união NÃO seria um gráfico de função única.

Passo 7

Resumo didático para a prova (o que escrever numa resposta curta e segura):
  • Se interpretado como duas fórmulas separadas: afirmar que ambas definem funções; justificar dizendo que para cada x cada expressão produz um único y.
  • Se interpretado como uma única relação que admite ambos os sinais ao mesmo tempo: afirmar que não é função, justificando que um mesmo x teria dois y distintos (ex.: x=2 y=7 e y=1).

Resposta

Sim — interpretando \pm como duas fórmulas separadas, tanto y=x^{2}+3 quanto y=x^{2}-3 definem y como função de x.
Não — se a notação for entendida como a única relação que permite ambos os sinais simultaneamente (ou seja, a união dos dois ramos), essa relação não é função porque para um mesmo x existem dois valores possíveis de y.

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