Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(j) Seja f(x) = sen(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função e também calcular o valor dessa derivada quando . Vamos usar as propriedades de derivadas, especialmente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro da outra.

Passo 3

Na nossa função, temos a composição de duas funções:
  • A função externa , onde .
  • A função interna .
De acordo com a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada de . Usando a regra do poder, sabemos que:

Passo 5

Substituímos e na expressão da derivada usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos calcular substituindo na expressão que encontramos:
Já que qualquer número multiplicado por zero é zero, e .

Resposta

A derivada da função é e .

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