Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
3. \mathbf{F}=y \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}
C : A borda do triângulo cortado do plano x+y+z=1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede a circulação \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
do campo \mathbf{F}=y\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+x^{2}\,\mathbf{k}
ao longo da curva C, que é a borda do triângulo obtido pela interseção do plano x+y+z=1 com o primeiro octante. A orientação é anti-horária vista de cima, isto é, compatível com um vetor normal de componente z>0. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é a superfície triangular no plano e \mathbf{n}\,dS seu elemento de área orientado.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}. Usando
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y&x z&x^2 \end{vmatrix}
segue
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(\partial_y(x^2)-\partial_z(xz),\;\partial_z(y)-\partial_x(x^2),\;\partial_x(xz)-\partial_y(y)\bigr) =(-x,\,-2x,\;z-1).

Passo 3

Parametrizamos S pelo domínio D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\} em coordenadas x,y:
\mathbf{r}(x,y)=(x,\;y,\;1-x-y).
Então
\mathbf{r}_x=(1,0,-1), \quad \mathbf{r}_y=(0,1,-1),
e o vetor normal orientado é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(1,1,1),
cuja componente z é positiva, conforme desejado. Logo \mathbf{n}\,dS=(1,1,1)\,dA.

Passo 4

O produto escalar que aparece na integral de superfície é
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) =(-x,\,-2x,\;z-1)\cdot(1,1,1) =-3x+(z-1).
Substituindo z=1-x-y obtém-se
-3x+(1-x-y)-1=-4x-y.
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}(-4x-y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(-4x-y)\,dy\,dx.

Passo 5

Calculemos a integral dupla:
\int_{0}^{1}\!\Bigl[\int_{0}^{1-x}(-4x-y)\,dy\Bigr]dx =\int_{0}^{1}\Bigl[-4x(1-x)-\tfrac{(1-x)^2}{2}\Bigr]dx.
Desenvolvendo e integrando:
\int_{0}^{1}\bigl(\tfrac{7}{2}x^2-3x-\tfrac12\bigr)dx =\Bigl[\tfrac{7}{6}x^3-\tfrac{3}{2}x^2-\tfrac12x\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{7}{6}-2=-\tfrac{5}{6}.

Resposta

\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\tfrac{5}{6}.

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