1. Hiperboloide de duas folhas Encontre uma parametrização do hiperboloide de duas folhas \left(z^{2} / c^{2}\right)-\left(x^{2} / a^{2}\right)-\left(y^{2} / b^{2}\right)=1.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície de equação
\frac{z^{2}}{c^{2}} \;-\;\frac{x^{2}}{a^{2}}\;-\;\frac{y^{2}}{b^{2}} \;=\;1,
que é o hiperboloide de duas folhas. Vamos usar funções hiperbólicas, pois a identidade
\operatorname{cosh}^{2}u \;-\;\operatorname{sinh}^{2}u \;=\;1
nos permite gerar esse tipo de equação.

Passo 2

Para cada folha queremos que
\frac{z^{2}}{c^{2}} \;-\;\Bigl(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\Bigr) \;=\;1.
Se fizermos
z = \pm\,c\operatorname{cosh} u,
então
\frac{z^{2}}{c^{2}} = \operatorname{cosh}^{2}u.
Para a parte negativa do sinal “–” somarmos
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \operatorname{sinh}^{2}u,
de modo a obter a identidade hiperbólica.

Passo 3

Escolhemos
x = a\,\operatorname{sinh} u\;\cos v, \qquad y = b\,\operatorname{sinh} u\;\sin v, \qquad z = \pm\,c\,\operatorname{cosh} u.
Aqui u\ge0 controla a “distância” hiperbólica ao longo do eixo z, e v\in[0,2\pi) é o ângulo circular em x,y.

Passo 4

Verificação rápida:
\frac{z^{2}}{c^{2}} = (\operatorname{cosh} u)^{2}, \qquad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = (\operatorname{sinh} u)^{2}(\cos^{2}v+\sin^{2}v) = \operatorname{sinh}^{2}u.
Logo
\frac{z^{2}}{c^{2}} -\Bigl(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\Bigr) = \operatorname{cosh}^{2}u - \operatorname{sinh}^{2}u = 1.

Passo 5

Cada escolha do sinal “ \pm” dá uma folha do hiperboloide:
- Para a folha superior usamos
z = +\,c\operatorname{cosh} u.
- Para a folha inferior usamos
z = -\,c\operatorname{cosh} u.
Em ambos u\in[0,\infty) e v\in[0,2\pi).

Resposta

Uma parametrização do hiperboloide de duas folhas é
\boldsymbol{r}_{\pm}(u,v) =\bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u)\bigr) =\bigl( a\,\operatorname{sinh} u\cos v,\; b\,\operatorname{sinh} u\sin v,\; \pm\,c\,\operatorname{cosh} u \bigr),
com u\in[0,\infty) e v\in[0,2\pi).

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