In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
5 x+5 y-z=0
10 x+5 y+2 z=0
5 x+15 y-9 z=0
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte sistema de três equações lineares (todas com termo independente igual a zero):
Justificar por que o sistema deve ter pelo menos uma solução.
Determinar todas as soluções do sistema.
Dizer se ele tem exatamente uma solução ou infinitas soluções.]
Passo 2
Primeiro motivo por que existe pelo menos uma solução. Uma observação-chave: todo sistema linear homogêneo (isto é, todas as equações têm termo independente igual a zero) admite a solução trivial em que todas as incógnitas são zero. Ou seja, (x,y,z)=(0,0,0) sempre satisfaz um sistema homogêneo porque ao substituir zeros em cada equação o lado esquerdo torna-se zero. Logo, o sistema tem pelo menos uma solução (a trivial).
Passo 3
Agora vamos resolver o sistema com eliminação de Gauss de forma didática. Escrevo a matriz dos coeficientes:
Para eliminar frações e apresentar uma forma inteira, posso escrever t=5s com s\in\mathbb{R}. Substituindo:
(x,y,z)=s(-3,4,5),\qquad s\in\mathbb{R}.
Isto mostra que a solução geral é uma reta (1 parâmetro) no espaço \mathbb{R}^3.
Passo 8
Interpretação final quanto ao número de soluções. O sistema é homogêneo em 3 incógnitas e a eliminação mostrou que a matriz dos coeficientes tem posto 2 (duas linhas independentes). O número de graus de liberdade é 3-2=1, portanto há dimensão 1 de soluções não-triviais. Conclusão: além da solução trivial existe uma família infinita de soluções (parametrizadas por s acima). Portanto o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema tem pelo menos uma solução porque é homogêneo (a solução trivial (0,0,0) existe).
As soluções gerais são (x,y,z)=s(-3,4,5) com s\in\mathbb{R}.
O sistema tem infinitas soluções (uma família unidimensional).