In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
5 x+5 y-z=0
10 x+5 y+2 z=0
5 x+15 y-9 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de três equações lineares (todas com termo independente igual a zero):
\begin{cases} 5x+5y-z=0,\\[4pt] 10x+5y+2z=0,\\[4pt] 5x+15y-9z=0. \end{cases}
O que é pedido:
  • Justificar por que o sistema deve ter pelo menos uma solução.
  • Determinar todas as soluções do sistema.
  • Dizer se ele tem exatamente uma solução ou infinitas soluções.]

Passo 2

Primeiro motivo por que existe pelo menos uma solução. Uma observação-chave: todo sistema linear homogêneo (isto é, todas as equações têm termo independente igual a zero) admite a solução trivial em que todas as incógnitas são zero. Ou seja, (x,y,z)=(0,0,0) sempre satisfaz um sistema homogêneo porque ao substituir zeros em cada equação o lado esquerdo torna-se zero. Logo, o sistema tem pelo menos uma solução (a trivial).

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema com eliminação de Gauss de forma didática. Escrevo a matriz dos coeficientes:
\begin{pmatrix} 5 & 5 & -1\\[4pt] 10 & 5 & 2\\[4pt] 5 & 15 & -9 \end{pmatrix}.
Vou usar operações elementares por linhas para triangularizar. Trabalho com as linhas L_1,L_2,L_3 correspondentes às equações (na mesma ordem).]

Passo 4

Eliminação da primeira coluna abaixo de L_1.
Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1. Calculando cada entrada:
  • 10-2\cdot5=0,
  • 5-2\cdot5=5-10=-5,
  • 2-2\cdot(-1)=2+2=4.
Portanto L_2 fica (0,-5,4).
Faço L_3 \leftarrow L_3 - L_1. Calculando:
  • 5-5=0,
  • 15-5=10,
  • -9-(-1)=-9+1=-8.
Portanto L_3 fica (0,10,-8).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 5 & 5 & -1\\[4pt] 0 & -5 & 4\\[4pt] 0 & 10 & -8 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Eliminação da segunda coluna na terceira linha.
Faço L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2. Calculando:
  • 0 + 2\cdot0 = 0,
  • 10 + 2\cdot(-5) = 10 -10 = 0,
  • -8 + 2\cdot4 = -8 +8 = 0.
Então L_3 torna-se (0,0,0). A matriz escalonada é
\begin{pmatrix} 5 & 5 & -1\\[4pt] 0 & -5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Isto significa que temos duas equações lineares independentes efetivas e a terceira é redundante (zero = zero).]

Passo 6

Volto às equações correspondentes às linhas não-nulas (dividindo/normalizando quando conveniente):
Da segunda linha escalonada temos
-5y + 4z = 0.
Isolando y:
y = \frac{4}{5}z.
Da primeira linha original (ou escalonada) temos
5x + 5y - z = 0.
Divido por 5 para simplificar:
x + y - \frac{1}{5}z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -y + \frac{1}{5}z.
Substituo y=\dfrac{4}{5}z em x:
x = -\frac{4}{5}z + \frac{1}{5}z = -\frac{3}{5}z.

Passo 7

Introduzo um parâmetro livre para expressar a solução geral. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro tal que z=t. Então
y=\frac{4}{5}t,\qquad x=-\frac{3}{5}t.
Assim as soluções são
(x,y,z)=\left(-\frac{3}{5}t,\;\frac{4}{5}t,\;t\right).
Para eliminar frações e apresentar uma forma inteira, posso escrever t=5s com s\in\mathbb{R}. Substituindo:
(x,y,z)=s(-3,4,5),\qquad s\in\mathbb{R}.
Isto mostra que a solução geral é uma reta (1 parâmetro) no espaço \mathbb{R}^3.

Passo 8

Interpretação final quanto ao número de soluções. O sistema é homogêneo em 3 incógnitas e a eliminação mostrou que a matriz dos coeficientes tem posto 2 (duas linhas independentes). O número de graus de liberdade é 3-2=1, portanto há dimensão 1 de soluções não-triviais. Conclusão: além da solução trivial existe uma família infinita de soluções (parametrizadas por s acima). Portanto o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem pelo menos uma solução porque é homogêneo (a solução trivial (0,0,0) existe).
As soluções gerais são (x,y,z)=s(-3,4,5) com s\in\mathbb{R}.
O sistema tem infinitas soluções (uma família unidimensional).

Exercícios relacionados