In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
2 x+3 y=0
4 x+3 y-z=0
8 x+3 y+3 z=0
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações nas incógnitas x,y,z:
Dizer por que o sistema deve ter pelo menos uma solução.
Resolver o sistema.
Dizer se a solução é única ou se há infinitas soluções.]
Passo 2
Observação importante sobre existência de solução: um sistema linear é chamado homogêneo quando todos os termos constantes do lado direito são iguais a zero. Aqui os três membros direitos são zero, portanto o sistema é homogêneo.
Propriedade útil (explicada de forma simples): todo sistema linear homogêneo sempre admite pelo menos a solução trivial, isto é, (x,y,z)=(0,0,0), porque substituindo x=0, y=0, z=0 todas as equações ficam 0=0. Assim já temos garantida pelo menos uma solução.
Passo 3
Agora vou resolver o sistema passo a passo usando eliminação/substituição. Começo pela primeira equação para isolar y:
2x+3y=0.
Subtraindo 2x e dividindo por 3 obtemos
3y=-2x\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{2}{3}x.
Aqui expliquei: isolar uma variável é uma técnica que reduz o número de incógnitas ao substituir em outras equações.
Passo 4
Substituo a expressão de y na segunda equação para relacionar z com x:
4x+3y-z=0.
Substituindo y=-\dfrac{2}{3}x dá
4x+3\left(-\frac{2}{3}x\right)-z=0.
Calcule o termo com y:
3\left(-\frac{2}{3}x\right) = -2x.
Portanto a equação fica
4x-2x - z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x - z = 0.
Isolando z:
z = 2x.
Passo 5
Agora uso as expressões y=-\dfrac{2}{3}x e z=2x na terceira equação:
Portanto a única solução que aparece pela eliminação é (x,y,z)=(0,0,0).
Passo 7
Discussão sobre unicidade: já mostrei que a única possibilidade consistente das três equações é x=0,y=0,z=0. Outro modo de ver que a solução é única é observar que a matriz dos coeficientes é invertível (determinante diferente de zero). Para registro rápido, a matriz dos coeficientes é
Como \det(A)\neq0, a matriz é invertível e o sistema homogêneo só admite a solução trivial. Conclusão: existe pelo menos uma solução (trivial) e ela é única.]
Resposta
O sistema é homogêneo, logo tem pelo menos a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
Solução: (x,y,z)=(0,0,0). O sistema tem exatamente uma solução (única).