In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
2 x+3 y=0
4 x+3 y-z=0
8 x+3 y+3 z=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações nas incógnitas x,y,z:
\begin{cases} 2x+3y=0,\\[4pt] 4x+3y-z=0,\\[4pt] 8x+3y+3z=0. \end{cases}
O que pede:
  • Dizer por que o sistema deve ter pelo menos uma solução.
  • Resolver o sistema.
  • Dizer se a solução é única ou se há infinitas soluções.]

Passo 2

Observação importante sobre existência de solução: um sistema linear é chamado homogêneo quando todos os termos constantes do lado direito são iguais a zero. Aqui os três membros direitos são zero, portanto o sistema é homogêneo.
Propriedade útil (explicada de forma simples): todo sistema linear homogêneo sempre admite pelo menos a solução trivial, isto é, (x,y,z)=(0,0,0), porque substituindo x=0, y=0, z=0 todas as equações ficam 0=0. Assim já temos garantida pelo menos uma solução.

Passo 3

Agora vou resolver o sistema passo a passo usando eliminação/substituição. Começo pela primeira equação para isolar y:
2x+3y=0.
Subtraindo 2x e dividindo por 3 obtemos
3y=-2x\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{2}{3}x.
Aqui expliquei: isolar uma variável é uma técnica que reduz o número de incógnitas ao substituir em outras equações.

Passo 4

Substituo a expressão de y na segunda equação para relacionar z com x:
4x+3y-z=0.
Substituindo y=-\dfrac{2}{3}x
4x+3\left(-\frac{2}{3}x\right)-z=0.
Calcule o termo com y:
3\left(-\frac{2}{3}x\right) = -2x.
Portanto a equação fica
4x-2x - z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x - z = 0.
Isolando z:
z = 2x.

Passo 5

Agora uso as expressões y=-\dfrac{2}{3}x e z=2x na terceira equação:
8x+3y+3z=0.
Substituindo:
8x + 3\left(-\frac{2}{3}x\right) + 3(2x) = 0.
Calculo cada termo:
3\left(-\frac{2}{3}x\right) = -2x,\qquad 3(2x)=6x.
Somando:
8x -2x +6x = 12x.
Logo a terceira equação reduz-se a
12x = 0.
Daí segue imediatamente
x = 0.

Passo 6

Com x=0 retorno às expressões que obtive:
y = -\frac{2}{3}x = -\frac{2}{3}\cdot 0 = 0,
z = 2x = 2\cdot 0 = 0.
Portanto a única solução que aparece pela eliminação é (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 7

Discussão sobre unicidade: já mostrei que a única possibilidade consistente das três equações é x=0,y=0,z=0. Outro modo de ver que a solução é única é observar que a matriz dos coeficientes é invertível (determinante diferente de zero). Para registro rápido, a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2&3&0\\[4pt]4&3&-1\\[4pt]8&3&3\end{pmatrix},
e um cálculo do determinante dá
\det(A)=2\cdot(3\cdot3-(-1)\cdot3)-3\cdot(4\cdot3-(-1)\cdot8)=2\cdot12-3\cdot20=24-60=-36\neq0.
Como \det(A)\neq0, a matriz é invertível e o sistema homogêneo só admite a solução trivial. Conclusão: existe pelo menos uma solução (trivial) e ela é única.]

Resposta

O sistema é homogêneo, logo tem pelo menos a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
Solução: (x,y,z)=(0,0,0). O sistema tem exatamente uma solução (única).

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