Exercs. 29-46: Determine se a série converge ou diverge.
sumn=4^infty 3 n2 n^2-7

Passo 1

Temos a série . O conteúdo é convergência de séries numéricas, e vamos precisar do Teste da Comparação Limite, que compara o nosso termo geral com o termo de uma série mais simples.

Passo 2

O Teste da Comparação Limite diz que, se escolhermos uma outra série sum bn com termos positivos e calcula­mos
L=limntoinftyanbn,
e obtivermos um número finito e positivo 0, então as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (ou seja, convergem ou divergem juntas). Aqui escolhemos bn=1/n, pois a série harmônica sum 1/n é conhecida e diverge.

Passo 3

Vamos calcular o limite de comparação:
L=limntoinftyanbn =limntoinftydfrac3n2n^2-71/n =limntoinfty3n2n^2-7cdot n =limntoinfty3n^22n^2-7 =32
Obtemos L=3/2, que é um número finito e positivo.

Passo 4

Como sum bn=sum 1/n é a série harmônica e diverge, e pelo Teste da Comparação Limite nossas séries têm o mesmo comportamento, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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