Existe algum valor de k com o qual \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{k}} convirja?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe algum k\in\mathbb{R} tal que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{k}}
converja. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries pelo critério da razão (ou, alternativamente, pelo critério da raiz).

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{k}}.
Aplicamos o critério da razão, que exige calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 3

Temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{2^{\,n+1}}{(n+1)^{k}}}{\frac{2^{n}}{n^{k}}} = 2 \,\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{k},
e portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 2\cdot1^{k} =2.
Como esse limite é maior que 1, o critério da razão diz que a série diverge independentemente de k.

Resposta

Não existe valor de k que faça a série \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}/n^{k} convergir; ela diverge para todo k.

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