Encontre uma fórmula para o termo geral S_{n} das séries.
\frac{1}{1}-\frac{2^{2}}{2 \cdot 1}+\frac{3^{3}}{3 \cdot 2 \cdot 1}-\frac{4^{4}}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}+\cdots

Passo 1

O enunciado apresenta a soma parcial
S_n = \frac{1}{1} \;-\;\frac{2^{2}}{2\cdot1}\;+\;\frac{3^{3}}{3\cdot2\cdot1}\;-\;\frac{4^{4}}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\;+\cdots
e pede uma fórmula para o termo geral S_n. O conteúdo é identificação de padrão de série alternada envolvendo potências e fatoriais.

Passo 2

Observamos que o k-ésimo termo da série é
a_k = (-1)^{\,k-1}\,\frac{k^k}{k!}.
Aqui o sinal alterna porque começamos positivo em k=1, o numerador é k^k e o denominador é o fatorial k!=k\,(k-1)\cdots1.

Passo 3

A soma parcial até o n-ésimo termo fica, portanto,
S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{\,k-1}\,\frac{k^k}{k!}.

Resposta

S_n = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{\,k-1}\,\frac{k^k}{k!}.

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