Existe uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & k\end{array}\right] ?

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se existe uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & k\end{pmatrix}.
Informações dadas: a matriz A é real 3\times3 e depende do parâmetro real k. A pergunta é simplesmente: existe uma base de \mathbb{R}^{3} composta por autovetores de A? (Ou seja: A é diagonalizável sobre \mathbb{R} com 3 autovetores reais linearmente independentes?)]

Passo 2

Definição e critério básico (explicado devagar): um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^3 é autovetor de A se existir \lambda\in\mathbb{C} tal que
Av=\lambda v.
Aqui \lambda chama-se autovalor. Ter uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores reais significa ter três autovetores reais linearmente independentes — equivalente a ter três autovalores (contados com a multiplicidade geométrica) que gerem três direções reais independentes. Assim, um passo natural é achar os autovalores de A: resolver o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Se alguns autovalores forem complexos não reais, os autovetores associados serão complexos e não dão uma base real de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A. Observação prática: A é blocada em forma triangular por blocos (o bloco inferior direito é 1\times1), então
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 & 0\\[4pt]1 & 1-\lambda & 0\\[4pt]0 & 0 & k-\lambda\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}\cdot (k-\lambda).
Agora calculamos a determinante do bloco 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2-(-1)\cdot 1=(1-\lambda)^2+1.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\bigl((1-\lambda)^2+1\bigr)\,(k-\lambda).]

Passo 4

Analisar as raízes desse polinômio (os autovalores). Primeiro simplificamos o fator quadrático:
(1-\lambda)^2+1=\lambda^2-2\lambda+2.
Resolver \lambda^2-2\lambda+2=0 usando a fórmula quadrática: o discriminante é
\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4.
Como \Delta=-4<0, as raízes dessa quadrática são complexas conjugadas e não reais; calculando explicitamente,
\lambda= \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.
O outro fator dá a terceira raiz real \lambda=k. Resumo dos autovalores de A:
  • \lambda_1=1+i (complexo),
  • \lambda_2=1-i (complexo conjugado),
  • \lambda_3=k (real).

Passo 5

Conectar autovalores e existência de base real de autovetores. Cada autovalor real pode (possivelmente) fornecer autovetores reais. Já autovalores não reais fornecem autovetores complexos não reais; esses não servem para formar uma base de \mathbb{R}^3. Aqui temos apenas um autovalor real ( \lambda=k) e dois autovalores não reais ( 1\pm i). Logo, no máximo podemos obter uma direção real de autovetor (associada a \lambda=k); não existem dois autovetores reais independentes vindos dos autovalores 1\pm i, pois estes não são reais. Assim não é possível obter três autovetores reais linearmente independentes que formem uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 6

Verificar possíveis exceções: será que para algum valor especial de k a situação muda? Para que houvesse três autovetores reais, precisaríamos que as raízes do polinômio característico fossem todas reais. Mas as raízes 1\pm i são sempre complexas e independem de k; não existe k\in\mathbb{R} que transforme 1\pm i em número real. Portanto não há valor real de k que torne todos os autovalores reais. Conclusão: nenhuma exceção real.

Resposta

Não — para nenhum k\in\mathbb{R} existe uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores da matriz.

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