Sejam \mathcal{A}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} uma base e T: V \rightarrow V uma transformação linear, onde V é o espaço gerado por \mathcal{A}. Sabendo que T\left(u_{1}\right)=2 u_{2}, T\left(u_{2}\right)=u_{1}+u_{3} e T\left(u_{3}\right)=-u_{2}, qual é a matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} ? (as estrelinhas ★ indicam números não nulos).
a[]\left[\begin{array}{ccc}\star & 0 & \star \\\\ 0 & \star & 0 \\\ \star & 0 & \star\end{array}\right] \mathbf{b}[]\left[\begin{array}{lll}\star & \star & \star \\\\ 0 & \star & \star \\\\ 0 & 0 & \star\end{array}\right]
c \left[\begin{array}{ll}\mathbf{l} & \mathbf{l} \\\ \star & 0 \\\\ 0 & \star \\\\ 0 & 0 \\\\ 0\end{array}\right] \mathbf{d}\left[\begin{array}{ll}\mathbf{l} & {\left[\begin{array}{lll}\star & 0 & 0 \\\ \star & \star & 0 \\\ \star & \star & \star\end{array}\right]}\end{array}\right.
e []\left[\begin{array}{ccc}0 & \star & 0 \\\ \star & 0 & \star \\\\ 0 & \star & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede a matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} da transformação linear T:V\to V na base \mathcal{A}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}. As informações dadas são:
Também foram apresentadas opções de matrizes (com estrelas indicando entradas não nulas) e devemos escolher a que corresponde a [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}.
Passo 2
O que significa escrever a matriz de T na base \mathcal{A}? Regra prática e essencial: cada coluna da matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} é o vetor de coordenadas de T(u_{j}) relativo à base \mathcal{A}. Ou seja, se
Vou aplicar essa regra para j=1,2,3. (Isso vem da definição de coordenadas e da linearidade: representamos imagens dos vetores da base em coordenadas relativas à mesma base.)]