Sejam \mathcal{A}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} uma base e T: V \rightarrow V uma transformação linear, onde V é o espaço gerado por \mathcal{A}. Sabendo que T\left(u_{1}\right)=2 u_{2}, T\left(u_{2}\right)=u_{1}+u_{3} e T\left(u_{3}\right)=-u_{2}, qual é a matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} ? (as estrelinhas ★ indicam números não nulos).
a[] \left[\begin{array}{ccc}\star & 0 & \star \\\\ 0 & \star & 0 \\\ \star & 0 & \star\end{array}\right]
\mathbf{b}[]\left[\begin{array}{lll}\star & \star & \star \\\\ 0 & \star & \star \\\\ 0 & 0 & \star\end{array}\right]
c \left[\begin{array}{ll}\mathbf{l} & \mathbf{l} \\\ \star & 0 \\\\ 0 & \star \\\\ 0 & 0 \\\\ 0\end{array}\right]
\mathbf{d}\left[\begin{array}{ll}\mathbf{l} & {\left[\begin{array}{lll}\star & 0 & 0 \\\ \star & \star & 0 \\\ \star & \star & \star\end{array}\right]}\end{array}\right.
e [] \left[\begin{array}{ccc}0 & \star & 0 \\\ \star & 0 & \star \\\\ 0 & \star & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} da transformação linear T:V\to V na base \mathcal{A}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}. As informações dadas são:
T(u_{1})=2u_{2},\qquad T(u_{2})=u_{1}+u_{3},\qquad T(u_{3})=-u_{2}.
Também foram apresentadas opções de matrizes (com estrelas indicando entradas não nulas) e devemos escolher a que corresponde a [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}.

Passo 2

O que significa escrever a matriz de T na base \mathcal{A}? Regra prática e essencial: cada coluna da matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} é o vetor de coordenadas de T(u_{j}) relativo à base \mathcal{A}. Ou seja, se
T(u_{j}) = c_{1j}u_{1}+c_{2j}u_{2}+c_{3j}u_{3},
então a coluna j da matriz é
\begin{pmatrix}c_{1j}\\[4pt]c_{2j}\\[4pt]c_{3j}\end{pmatrix}.
Vou aplicar essa regra para j=1,2,3. (Isso vem da definição de coordenadas e da linearidade: representamos imagens dos vetores da base em coordenadas relativas à mesma base.)]

Passo 3

Calcular as coordenadas de T(u_{1}). Temos
T(u_{1})=2u_{2}.
Expressando como combinação linear das bases:
T(u_{1})=0\cdot u_{1}+2\cdot u_{2}+0\cdot u_{3}.
Portanto a coluna 1 (coordenadas de T(u_{1})) é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as coordenadas de T(u_{2}). Temos
T(u_{2})=u_{1}+u_{3}.
Escrevendo como combinação linear:
T(u_{2})=1\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}+1\cdot u_{3}.
Portanto a coluna 2 é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular as coordenadas de T(u_{3}). Temos
T(u_{3})=-u_{2}.
Escrevendo como combinação linear:
T(u_{3})=0\cdot u_{1}+(-1)\cdot u_{2}+0\cdot u_{3}.
Portanto a coluna 3 é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora monto a matriz colocando as colunas calculadas na ordem j=1,2,3:
[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Observe o padrão de zeros e não zeros: linha 1 é (0,\star,0), linha 2 é (\star,0,\star), linha 3 é (0,\star,0).]

Passo 7

Comparando o padrão acima com as opções fornecidas, a opção que tem exatamente esse arranjo de zeros e entradas não nulas é a opção (e).

Resposta

e \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & -1\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}]

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