Considere o vetor
, o conjunto
, os coeficientes de Fourier
e
de
em relação a
e as afirmações:
I.
é ortogonal;
II.
pertence ao espaço gerado por
;
III.
;
IV.
.
Seja
verdade
falso. É correto afirmar que:
a [ ] apenas I é
; b [ ] apenas II éV; c [ ] I e II são
; d [ ] III é
; e [ ] IV éV
I.
II.
III.
IV.
Seja
a [ ] apenas I é
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e o conjunto
.
Pede-se analisar a veracidade das afirmações:
I. é ortogonal;
II. pertence ao espaço gerado por
(ou seja,
);
III. , onde
são os coeficientes de Fourier de
em relação a
;
IV. .
Pede-se analisar a veracidade das afirmações:
I.
II.
III.
IV.
Anotadas as informações dadas, agora vamos verificar cada afirmação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, verificar I: definição e cálculo da ortogonalidade.
Definição: em com produto interno usual, o produto interno (produto escalar) entre dois vetores
e
é
Definição: em
Um conjunto é ortogonal se todo par distinto de vetores tem produto interno zero.
Calculemos os produtos internos dos pares de vetores de
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são
, concluímos que
é ortogonal. Portanto a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora verificar II: se
.
Significa: existem escalares tais que
Significa: existem escalares
Vamos escrever isso componente a componente. Para
,
,
e
, obtemos o sistema:
componente 1:
componente 2:
componente 3:
componente 4:
Dois resultados contraditórios surgem para
: das componentes 2 e 4 temos
e
simultaneamente, o que é impossível. Logo não existem
que satisfaçam todas as equações. Conclusão:
. Portanto a afirmação II é falsa.
Passo 4
Explicar os coeficientes de Fourier e calcular
.
Quando a família é ortogonal, os coeficientes de Fourier de um vetor
em relação a
são dados por
Quando a família
onde
é o quadrado da norma de
. Essa fórmula dá o coeficiente da projeção ortogonal de
sobre o subespaço gerado por
. Observação importante: a soma
é a projeção de
em
, não necessariamente igual a
se
não pertence àquele subespaço.
Vamos calcular
e
para cada
.
Para
:
Portanto
Para
:
Portanto
Para
:
Portanto
Resumo dos coeficientes:
,
,
.
Passo 5
Verificar III: se
.
Como observado no passo anterior, é a projeção de
sobre
. Se
não pertence a
, essa soma não pode ser igual a
. Já demonstramos que
(Passo 3), então necessariamente
Como observado no passo anterior,
Podemos confirmar calculando explicitamente a soma:
Calculemos componente a componente:
componente 1:
componente 2:
componente 3:
componente 4:
A soma dá o vetor
, que é diferente de
. Portanto a afirmação III é falsa.
Passo 6
Verificar IV: calcular
.
Usando os valores encontrados,
Usando os valores encontrados,
Calcule passo a passo:
Portanto
, e a afirmação IV é verdadeira.
Passo 7
Sumarizando os resultados:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é falsa.
- IV é verdadeira.
Observação final: as alternativas oferecidas no enunciado listam casos como “apenas I é V”, “apenas II é V”, “I e II são F”, “III é V”, “IV é V”. Como as declarações verdadeiras são I e IV simultaneamente, nenhuma das alternativas que supõem somente uma declaração verdadeira nem a que afirma que I e II são falsas coincide com essa situação. Logo nenhuma das alternativas (a)–(e) corresponde exatamente ao conjunto de afirmações verdadeiras identificado.
Resposta
Nenhuma das alternativas.