Considere o vetor w=[-1,1,-3,2], o conjunto \mathcal{A}=\left\{u_{1}=[1,0,1,0], u_{2}=[0,1,0,1], u_{3}=[-1,0,1,0]\right\}, os coeficientes de Fourier \varphi_{1}, \varphi_{2} e \varphi_{3} de w em relação a \mathcal{A} e as afirmações:
I. \mathcal{A} é ortogonal;
II. w pertence ao espaço gerado por \mathcal{A};
III. w=\varphi_{1} u_{1}+\varphi_{2} u_{2}+\varphi_{3} u_{3};
IV. \varphi_{1}+\varphi_{2}+\varphi_{3}=-3 / 2.
Seja \mathbb{V}= verdade \mathrm{e} \mathbb{F}= falso. É correto afirmar que:
a [ ] apenas I é \mathbb{V}; b [ ] apenas II éV; c [ ] I e II são \mathbb{F}; d [ ] III é \mathbb{V}; e [ ] IV éV

Passo 1

O enunciado dá os vetores w=[-1,1,-3,2] e o conjunto
\mathcal{A}=\{u_{1}=[1,0,1,0],\;u_{2}=[0,1,0,1],\;u_{3}=[-1,0,1,0]\}.
Pede-se analisar a veracidade das afirmações:
I. \mathcal{A} é ortogonal;
II. w pertence ao espaço gerado por \mathcal{A} (ou seja, w\in\operatorname{span}\mathcal{A});
III. w=\varphi_{1} u_{1}+\varphi_{2} u_{2}+\varphi_{3} u_{3}, onde \varphi_{i} são os coeficientes de Fourier de w em relação a \mathcal{A};
IV. \varphi_{1}+\varphi_{2}+\varphi_{3}=-3/2.
Anotadas as informações dadas, agora vamos verificar cada afirmação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, verificar I: definição e cálculo da ortogonalidade.
Definição: em \mathbb{R}^{4} com produto interno usual, o produto interno (produto escalar) entre dois vetores x=[x_1,x_2,x_3,x_4] e y=[y_1,y_2,y_3,y_4] é
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
Um conjunto é ortogonal se todo par distinto de vetores tem produto interno zero.
Calculemos os produtos internos dos pares de vetores de \mathcal{A}.
Cálculo de \langle u_1,u_2\rangle:
\langle u_1,u_2\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Cálculo de \langle u_1,u_3\rangle:
\langle u_1,u_3\rangle = 1\cdot(-1) + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = -1 + 1 = 0.
Cálculo de \langle u_2,u_3\rangle:
\langle u_2,u_3\rangle = 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0.
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são 0, concluímos que \mathcal{A} é ortogonal. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora verificar II: se w\in\operatorname{span}\mathcal{A}.
Significa: existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha u_1 + \beta u_2 + \gamma u_3 = w.
Vamos escrever isso componente a componente. Para u_1=[1,0,1,0], u_2=[0,1,0,1], u_3=[-1,0,1,0] e w=[-1,1,-3,2], obtemos o sistema:
componente 1:
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot(-1) = -1 \quad\Rightarrow\quad \alpha - \gamma = -1.
componente 2:
\alpha\cdot 0 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad \beta = 1.
componente 3:
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 1 = -3 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \gamma = -3.
componente 4:
\alpha\cdot 0 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad \beta = 2.
Dois resultados contraditórios surgem para \beta: das componentes 2 e 4 temos \beta=1 e \beta=2 simultaneamente, o que é impossível. Logo não existem \alpha,\beta,\gamma que satisfaçam todas as equações. Conclusão: w\not\in\operatorname{span}\mathcal{A}. Portanto a afirmação II é falsa.

Passo 4

Explicar os coeficientes de Fourier e calcular \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3.
Quando a família \mathcal{A} é ortogonal, os coeficientes de Fourier de um vetor w em relação a \mathcal{A} são dados por
\varphi_i = \frac{\langle w,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle},
onde \langle u_i,u_i\rangle é o quadrado da norma de u_i. Essa fórmula dá o coeficiente da projeção ortogonal de w sobre o subespaço gerado por \mathcal{A}. Observação importante: a soma \sum \varphi_i u_i é a projeção de w em \operatorname{span}\mathcal{A}, não necessariamente igual a w se w não pertence àquele subespaço.
Vamos calcular \langle w,u_i\rangle e \langle u_i,u_i\rangle para cada i.
Para i=1:
\langle w,u_1\rangle = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-3)\cdot 1 + 2\cdot 0 = -1 + 0 -3 + 0 = -4.
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 2.
Portanto
\varphi_1 = \frac{-4}{2} = -2.
Para i=2:
\langle w,u_2\rangle = (-1)\cdot 0 + 1\cdot 1 + (-3)\cdot 0 + 2\cdot 1 = 1 + 2 = 3.
\langle u_2,u_2\rangle = 0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2.
Portanto
\varphi_2 = \frac{3}{2}.
Para i=3:
\langle w,u_3\rangle = (-1)\cdot(-1) + 1\cdot 0 + (-3)\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1 + 0 -3 + 0 = -2.
\langle u_3,u_3\rangle = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 2.
Portanto
\varphi_3 = \frac{-2}{2} = -1.
Resumo dos coeficientes: \varphi_1=-2, \varphi_2=\tfrac{3}{2}, \varphi_3=-1.

Passo 5

Verificar III: se w=\varphi_{1} u_{1}+\varphi_{2} u_{2}+\varphi_{3} u_{3}.
Como observado no passo anterior, \sum \varphi_i u_i é a projeção de w sobre \operatorname{span}\mathcal{A}. Se w não pertence a \operatorname{span}\mathcal{A}, essa soma não pode ser igual a w. Já demonstramos que w\notin\operatorname{span}\mathcal{A} (Passo 3), então necessariamente
w \neq \varphi_{1} u_{1}+\varphi_{2} u_{2}+\varphi_{3} u_{3}.
Podemos confirmar calculando explicitamente a soma:
\varphi_{1} u_{1}+\varphi_{2} u_{2}+\varphi_{3} u_{3} = (-2)[1,0,1,0] + \tfrac{3}{2}[0,1,0,1] + (-1)[-1,0,1,0].
Calculemos componente a componente:
componente 1:
-2\cdot 1 + \tfrac{3}{2}\cdot 0 + (-1)\cdot(-1) = -2 + 0 + 1 = -1.
componente 2:
-2\cdot 0 + \tfrac{3}{2}\cdot 1 + (-1)\cdot 0 = \tfrac{3}{2}.
componente 3:
-2\cdot 1 + \tfrac{3}{2}\cdot 0 + (-1)\cdot 1 = -2 + 0 -1 = -3.
componente 4:
-2\cdot 0 + \tfrac{3}{2}\cdot 1 + (-1)\cdot 0 = \tfrac{3}{2}.
A soma dá o vetor [-1,\tfrac{3}{2},-3,\tfrac{3}{2}], que é diferente de w=[-1,1,-3,2]. Portanto a afirmação III é falsa.

Passo 6

Verificar IV: calcular \varphi_{1}+\varphi_{2}+\varphi_{3}.
Usando os valores encontrados,
\varphi_{1}+\varphi_{2}+\varphi_{3} = -2 + \tfrac{3}{2} + (-1).
Calcule passo a passo:
-2 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{4}{2} + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2},
-\tfrac{1}{2} + (-1) = -\tfrac{1}{2} - 1 = -\tfrac{3}{2}.
Portanto \varphi_{1}+\varphi_{2}+\varphi_{3} = -\tfrac{3}{2}, e a afirmação IV é verdadeira.

Passo 7

Sumarizando os resultados:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
  • IV é verdadeira.
Observação final: as alternativas oferecidas no enunciado listam casos como “apenas I é V”, “apenas II é V”, “I e II são F”, “III é V”, “IV é V”. Como as declarações verdadeiras são I e IV simultaneamente, nenhuma das alternativas que supõem somente uma declaração verdadeira nem a que afirma que I e II são falsas coincide com essa situação. Logo nenhuma das alternativas (a)–(e) corresponde exatamente ao conjunto de afirmações verdadeiras identificado.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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