1. Existem os limites \lim _{n \rightarrow \infty} \cos (n \pi i) e \lim _{n \rightarrow \infty}(n i) \sin \left(\frac{\pi i}{n}\right) ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existem, quando n\to\infty, os limites das duas sequências complexas
a_n = \cos(n\pi i)
e
b_n = (n\,i)\,\sin\!\Bigl(\frac{\pi i}{n}\Bigr).
Vamos usar as identidades de funções hiperbólicas \cos(i x)=\operatorname{cosh}(x) e \sin(i x)=i\,\operatorname{sinh}(x), além de analisar o comportamento assintótico de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}.

Passo 2

Para a_n, aplique \cos(i x)=\operatorname{cosh}(x) com x=n\pi. Então
a_n = \cos(n\pi i) = \operatorname{cosh}(n\pi).
Sabemos que \operatorname{cosh}(n\pi) cresce exponencialmente, pois
\operatorname{cosh}(n\pi) = \frac{e^{n\pi}+e^{-n\pi}}{2}\sim \frac{e^{n\pi}}{2}\quad\text{quando }n\to\infty,
logo \operatorname{cosh}(n\pi)\to+\infty. Isso significa que a_n não converge em \mathbb{C}.

Passo 3

Para b_n, comece usando \sin(i x)=i\,\operatorname{sinh}(x) com x=\frac{\pi}{n}. Temos
b_n = n\,i\;\sin\!\Bigl(\frac{\pi i}{n}\Bigr) = n\,i\;\bigl(i\,\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{n})\bigr) = -\,n\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{n}\Bigr).
Como \operatorname{sinh}(x)\sim x para x\to0, quando n\to\infty temos \tfrac{\pi}{n}\to0 e
-\,n\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{n}\Bigr) \sim -\,n\;\frac{\pi}{n} = -\pi.
Portanto b_n\to -\pi.

Resposta

O limite de \cos(n\pi i) não existe (diverge para infinito) e o limite de (n\,i)\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi i}{n}\bigr) é -\pi.

Exercícios relacionados