Existem valores constantes de
tais que
é uma solução de (3). Além disso,
é solução de (3) se, e somente se,
que é chamada equação inicial de (3). Se a equação inicial tem somente uma raiz real,
, determine uma segunda solução LI da forma
- a) Determine qual ou quais funções
,
e
são soluções da equação
b) Seja
uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução
de forma que
e
sejam soluções fundamentais da equação.
c) Determine a solução geral da EDO
e obtenha a solução do PVI
c) Determine a solução geral da EDO
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
Na primeira parte temos a equação de Euler–Cauchy
Na primeira parte temos a equação de Euler–Cauchy
e sabemos que existe uma solução
com
de multiplicidade dois. Precisamos achar uma segunda solução linearmente independente da forma
Na segunda parte (questão 14) consideramos a EDO
e devemos
a) verificar quais de ,
,
são soluções;
b) para uma solução encontrada, obter uma segunda solução
de modo que
seja base de soluções;
c) escrever a solução geral e resolver o PVI.
a) verificar quais de
b) para uma solução
c) escrever a solução geral e resolver o PVI.
Passo 2
Para a equação de Euler–Cauchy a técnica padrão em caso de raiz repetida
é usar redução de ordem. Sabe-se que
Logo a segunda solução é
Passo 3
a) Testamos cada candidato em
.
Para e
a substituição não zera a expressão.
Para temos
Para
Para
Portanto só
é solução.
Passo 4
b) Tomando
, escrevemos a EDO na forma padrão
com
A redução de ordem dá
Calculamos
Então
Passo 5
c) A solução geral é
Para o PVI com
temos
Resolvendo:
Logo a solução do PVI é
Resposta
Parte 1:
14 a) Só é solução.
14 b) Segunda solução .
14 c) Solução geral . Para o PVI
obtém-se
14 a) Só
14 b) Segunda solução
14 c) Solução geral