- Mostre que a solução do problema
,
tende para uma constante quando
. Determine esta constante.
- Mostre que se
, então toda solução de
tende a zero quando
.
- Considere o problema
. Mostre que
para todo
.
- Considere o problema
,
. Determine os valores de
para os quais a solução
quando
.
Passo 1
Resumindo: temos a EDO
com condições iniciais
e
.
Conteúdo: equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Conteúdo: equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Logo, a solução geral é
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
De vem
De
De
e
vem
Substituindo em
dá
Passo 4
Portanto
Passo 5
Quando
temos
, logo
Passo 6
Resumindo:
com
.
Conteúdo: equação linear homogênea de segunda ordem, raízes complexas.
Conteúdo: equação linear homogênea de segunda ordem, raízes complexas.
Passo 7
A equação característica é
com discriminante
Logo as raízes são complexas conjugadas:
Passo 8
A solução geral é
onde
.
Passo 9
O fator exponencial
decai para zero quando
(já que
). Os termos
e
ficam limitados, então
Passo 10
Resumindo:
Conteúdo: EDO linear com raízes reais opostas.
Passo 11
Equação característica:
Solução geral:
Passo 12
Usando
e
, de
vem
e de
vem
Resolvendo:
Passo 13
Portanto
Cada termo
é sempre positivo. Se
e
têm o mesmo sinal, a soma nunca zera. De fato,
Para
esse produto é positivo, logo ambos os coeficientes têm o mesmo sinal e
para todo
.
Passo 14
Resumindo:
Conteúdo: raiz dupla na característica.
Passo 15
A equação característica é
Passo 16
Para raiz dupla
, a solução geral é
As condições iniciais dão
e
logo em
,
. Portanto
Passo 17
Quando
,
.
- Se
, então . - Se
, então .
Resposta
A solução diverge para
exatamente quando
.