- Se existem
e
tais que
para todo
suficientemente grande, prove que
. Use este fato para calcular
e
.
Passo 1
O enunciado afirma que existe
e
tais que, para todo
grande,
Queremos provar que
e em seguida usar esse fato para calcular os limites pedidos:
,
,
e
.
Passo 2
Defina
. Então
Pela hipótese, para
grande vale
Dividindo por
obtemos
Mas
é constante, logo
, e
. Pelo Teorema do Confronto,
. Daí
ou seja
.
Passo 3
Para
note que, para
,
Tomando
e
(pois
para
), a hipótese do passo anterior vale, logo
Passo 4
Para
temos, para
,
De novo cabe aplicar o passo 2 com
e algum
(por ex.
), obtendo
Passo 5
Para
note que, para
,
e também
. Logo podemos escolher
e
para aplicar o passo 2, concluindo
Passo 6
Para
, para
temos
e
. Tomando
e
reaplicamos o passo 2 e obtemos