1. Se existem \varepsilon>0 e k \in \mathbb{N} tais que \varepsilon \leq x_{n} \leq n^{k} para todo n suficientemente grande, prove que \lim \sqrt[n]{x_{n}}=1. Use este fato para calcular \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n+k}, \lim \sqrt[n]{n+\sqrt{n}}, \lim \sqrt[n]{\log n} e \lim \sqrt[n]{n \log n}.

Passo 1

O enunciado afirma que existe \varepsilon>0 e k\in\mathbb{N} tais que, para todo n grande,
\varepsilon \le x_n \le n^k.
Queremos provar que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=1
e em seguida usar esse fato para calcular os limites pedidos:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+k}, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+\sqrt n}, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\ln n} e \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\ln n}.

Passo 2

Defina y_n=\sqrt[n]{x_n}. Então
\ln y_n = \frac{1}{n}\,\ln x_n.
Pela hipótese, para n grande vale
\ln\varepsilon \;\le\;\ln x_n\;\le\;k\ln n.
Dividindo por n obtemos
\frac{\ln\varepsilon}{n}\;\le\;\ln y_n\;\le\;\frac{k\ln n}{n}.
Mas \ln\varepsilon é constante, logo \ln\varepsilon/n\to0, e \ln n/n\to0. Pelo Teorema do Confronto, \ln y_n\to0. Daí
y_n = e^{\ln y_n}\;\longrightarrow\;e^0=1,
ou seja \sqrt[n]{x_n}\to1.

Passo 3

Para x_n = n+k note que, para n\ge k,
n \le n+k \le 2n.
Tomando \varepsilon=1 e k'=2 (pois 2n=n^{1}\cdot2\le n^2 para n\ge2), a hipótese do passo anterior vale, logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+k} = 1.

Passo 4

Para x_n = n + \sqrt n temos, para n\ge1,
n \le n+\sqrt n \le 2n.
De novo cabe aplicar o passo 2 com \varepsilon=1 e algum k' (por ex. k'=2), obtendo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+\sqrt n} = 1.

Passo 5

Para x_n = \ln n note que, para n\ge3, \ln n\ge1 e também \ln n \le n. Logo podemos escolher \varepsilon=1 e k'=1 para aplicar o passo 2, concluindo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\ln n} = 1.

Passo 6

Para x_n = n\ln n, para n\ge3 temos \ln n\ge1 e n\ln n\le n^2. Tomando \varepsilon=1 e k'=2 reaplicamos o passo 2 e obtemos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\ln n} = 1.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+k}=1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+\sqrt n}=1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\ln n}=1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\ln n}=1

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