- Dado
, defina indutivamente a seqüência
pondo
e
. Considere o número
, raiz positiva da equação
, único número positivo tal que
. Prove que
e que
. O número
pode ser considerado como a soma da fração contínua
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
,
,
com . Também aparece o número
, raiz positiva da equação
com
único valor positivo que satisfaz
O que queremos mostrar é que os termos pares formam uma sequência crescente limitada acima por
, os termos ímpares formam uma sequência decrescente limitada abaixo por
, e que ambas convergem para
. Em particular, obtemos as desigualdades
e
. Para isso, vamos usar análise de funções monotônicas e propriedades de subsequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos caracterizar
. A equação
tem duas raízes
, mas apenas
é positiva. Verificamos então
isto é,
é ponto fixo da função
.
Passo 3
Vamos estudar
. Para
temos
logo
é estritamente decrescente nesse domínio. Consequência imediata: se
então
Passo 4
Comparando
com
, nota-se que sempre
(basta verificar numericamente ou algebricamente que
). Então, aplicando
a ambos:
e depois
Por indução simples, usando que
é decrescente, obtém-se para todo
:
-
, -
.
Passo 5
Agora provamos que a subsequência
é crescente. Para
já vimos
. Como
, aplicando
(que inverte desigualdades) a
obtemos
Supondo por indução
, observe que
e
satisfazem
porque
e
é decrescente. Então reaplicando
a
obtemos
Isso fecha a indução, mostrando
. Além disso cada
, logo essa subsequência é limitada acima por
.
Passo 6
De modo análogo, a subsequência
é decrescente e cada termo excede
. De fato, base em
, e passo indutivo igual ao anterior trocando papéis de pares e ímpares, garante
e todos esses termos são
.
Passo 7
Cada uma das duas subsequências é monótona e limitada, logo converge. Seja
e
Passo 8
Como
, passando ao limite em
para qualquer par ou ímpar, o limite
satisfaz
Da igualdade
segue
Entre as raízes dessa equação, a única não negativa é
. Portanto
,
isto é, .
isto é,
Resposta
As desigualdades
estão estabelecidas pelos passos acima, e
O valor
coincide exatamente com o valor da fração contínua