Se existirem, determine e classifique os extremos da função f(x, y) = x^3 + y^3 + 3y^2 - 3x - 9y + 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos determinar se ela possui extremos (como máximos ou mínimos) e classificá-los. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar e classificar os pontos críticos.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar os extremos de uma função de duas variáveis é encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde e .
Resolvendo :
Resolvendo :

Passo 4

Combinando as soluções de e , temos os possíveis pontos críticos:

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos. Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Para :
Como e , esse ponto é um ponto de mínimo local.
  1. Para :
Como e , esse ponto é um ponto de máximo local.
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os extremos da função são:
  • Ponto de máximo local em .
  • Ponto de mínimo local em .
Os pontos e são pontos de sela.

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