exists x neg P(x) vdash neg forall xP(x)

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente parte da premissa
exists x,neg P(x)
e quer provar
neg forall x,P(x)
Isso é um exercício de lógica de predicados, usando as regras de quantificadores (instanciação existencial e universal) e a introdução de negação (prova por contradição). A gente vai precisar:
  1. usar Existential Instantiation pra “pegar” um objeto que satisfaz ¬P(x),
  2. usar Universal Instantiation pra mostrar que esse mesmo objeto satisfaz P(x) se a gente assumir o contrário,
  3. e então mostrar que dá contradição, concluindo ¬∀x P(x).

Passo 2

Anotamos a premissa principal:
  1.  (Premissa)

Passo 3

Para chegar em ¬∀x P(x) a gente faz uma prova por contradição (introdução de negação). Então assume o contrário do que quer provar:
2. Assuma . (Hipótese para Redução ao Absurdo)

Passo 4

Agora aplicamos a regra de Existential Instantiation na linha 1. Isso significa que existe um nome (digamos ) no nosso domínio tal que .
3.  (da 1, Existential Instantiation)

Passo 5

Com a linha 2 ( ), podemos usar Universal Instantiation para o mesmo termo :
4.  (da 2, Universal Instantiation)

Passo 6

Agora temos simultaneamente (linha 4) e (linha 3). Isso é uma contradição direta.
5. ⊥ (de 3 e 4, Contradição)

Passo 7

Como a suposição de levou a uma contradição, a gente conclui:
6.  (de 2–5, Introdução de Negação)

Resposta

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