Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente parte da premissa
e quer provar
Isso é um exercício de lógica de predicados, usando as regras de quantificadores (instanciação existencial e universal) e a introdução de negação (prova por contradição). A gente vai precisar:
- usar Existential Instantiation pra “pegar” um objeto que satisfaz ¬P(x),
- usar Universal Instantiation pra mostrar que esse mesmo objeto satisfaz P(x) se a gente assumir o contrário,
- e então mostrar que dá contradição, concluindo ¬∀x P(x).
Passo 2
Anotamos a premissa principal:
-
(Premissa)
Passo 3
Para chegar em ¬∀x P(x) a gente faz uma prova por contradição (introdução de negação). Então assume o contrário do que quer provar:
2. Assuma . (Hipótese para Redução ao Absurdo)
2. Assuma
Passo 4
Agora aplicamos a regra de Existential Instantiation na linha 1. Isso significa que existe um nome (digamos
) no nosso domínio tal que
.
3. (da 1, Existential Instantiation)
3.
Passo 5
Com a linha 2 (
), podemos usar Universal Instantiation para o mesmo termo
:
4. (da 2, Universal Instantiation)
4.
Passo 6
Agora temos simultaneamente
(linha 4) e
(linha 3). Isso é uma contradição direta.
5. ⊥ (de 3 e 4, Contradição)
5. ⊥ (de 3 e 4, Contradição)
Passo 7
Como a suposição de
levou a uma contradição, a gente conclui:
6. (de 2–5, Introdução de Negação)
6.