Passo 1
Resumo do enunciado: a gente parte da premissa
e quer provar
Conteúdo: lógica de predicados de 1ª ordem.
O que vamos usar: prova por contradição, eliminação de ∀ (instanciar com uma constante) e eliminação de ∃ (introduzir constante arbitrária), além de regras básicas de conjunção, implicação e negação.
O que vamos usar: prova por contradição, eliminação de ∀ (instanciar com uma constante) e eliminação de ∃ (introduzir constante arbitrária), além de regras básicas de conjunção, implicação e negação.
Passo 2
Começamos por prova indireta (redução ao absurdo):
- Suponha, para buscar contradição, que
Passo 3
Pela regra de eliminação do existencial, introduzimos uma constante nova, digamos
, tal que:
2) .
2)
Passo 4
Da conjunção em (2) aplicamos simplificação:
3) .
4) .
3)
4)
Passo 5
Agora usamos eliminação do universal na premissa original:
5) De obtemos, para o mesmo $c),
5) De
Passo 6
Compondo (3) e (5) pela regra de modus ponens (→E), inferimos:
6) .
6)
Passo 7
Em (4) tínhamos
. Logo, juntando com (6) dá contradição:
Isso fecha o absurdo.
Passo 8
Como da suposição
chegamos a contradição, podemos concluir sua negação:
Resposta
Portanto, a partir de
derivamos