forall x P(x) neg Q(x) vdash neg (exists x(P(x) wed>= Q(x)))

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente parte da premissa
forall xl(P(x)to neg Q(x)r)
e quer provar
negl(exists x,(P(x)wed>= Q(x))r)
Conteúdo: lógica de predicados de 1ª ordem.
O que vamos usar: prova por contradição, eliminação de ∀ (instanciar com uma constante) e eliminação de ∃ (introduzir constante arbitrária), além de regras básicas de conjunção, implicação e negação.

Passo 2

Começamos por prova indireta (redução ao absurdo):
  1. Suponha, para buscar contradição, que
exists xl(P(x)wed>= Q(x)r)

Passo 3

Pela regra de eliminação do existencial, introduzimos uma constante nova, digamos c, tal que:
2) .

Passo 4

Da conjunção em (2) aplicamos simplificação:
3) .
4) .

Passo 5

Agora usamos eliminação do universal na premissa original:
5) De P(c)to neg Q(c) obtemos, para o mesmo $c),

Passo 6

Compondo (3) e (5) pela regra de modus ponens (→E), inferimos:
6) .

Passo 7

Em (4) tínhamos Q(c);wed>=;neg Q(c) . Logo, juntando com (6) dá contradição:
Isso fecha o absurdo.

Passo 8

Como da suposição negl(exists x,(P(x)wed>= Q(x))r) chegamos a contradição, podemos concluir sua negação:

Resposta

Portanto, a partir de negl(exists x,(P(x)wed>= Q(x))r) derivamos

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