Expanda a função
F(u)=\left(1-2 x u+u^{2}\right)^{-1 / 2}
em série de Taylor até o termo em u^{3}. Observe que os coeficientes são os quatro primeiros polinômios de Legendre P_{n}(x). Na realidade, F(u) é uma função geradora para todos os polinômios de Legendre:
F(u)=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) u^{n}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
F(u)=\bigl(1-2xu+u^{2}\bigr)^{-1/2}
até o termo em u^{3}. O conteúdo principal é a aplicação da série binomial generalizada para expoente -\tfrac12, reconhecendo depois os coeficientes como polinômios de Legendre.

Passo 2

Usamos a expansão binomial para expoente \alpha=-\tfrac12:
(1+y)^{-1/2}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{k}\,y^{k},
onde aqui y=-2xu+u^{2}. Manteremos apenas os termos com k\le3, pois só contribuem até u^{3}.

Passo 3

Calculamos os coeficientes gerais
\binom{-\tfrac12}{0}=1, \quad \binom{-\tfrac12}{1}=-\tfrac12, \quad \binom{-\tfrac12}{2}=\frac{\bigl(-\tfrac12\bigr)\bigl(-\tfrac32\bigr)}{2!}=\tfrac{3}{8}, \quad \binom{-\tfrac12}{3}=\frac{\bigl(-\tfrac12\bigr)\bigl(-\tfrac32\bigr)\bigl(-\tfrac52\bigr)}{3!}=-\tfrac{5}{16}.
E as potências de y relevantes são
y=-2xu+u^{2},\quad y^{2}=4x^{2}u^{2}-4xu^{3}+O(u^{4}),\quad y^{3}=-8x^{3}u^{3}+O(u^{4}).

Passo 4

Agora montamos a soma parcial até k=3 e colecionamos termos em u^{n}: k=0 1. k=1
-\tfrac12\,(-2xu+u^{2})=xu-\tfrac12u^{2}. k=2
\tfrac{3}{8}(4x^{2}u^{2}-4xu^{3})=\tfrac{3}{2}x^{2}u^{2}-\tfrac{3}{2}xu^{3}. k=3
-\tfrac{5}{16}(-8x^{3}u^{3})=\tfrac{5}{2}x^{3}u^{3}.
Somando tudo até u^{3} resulta
F(u)=1 +xu +\bigl(-\tfrac12+ \tfrac{3}{2}x^{2}\bigr)u^{2} +\bigl(-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{5}{2}x^{3}\bigr)u^{3} +O(u^{4}).

Passo 5

Reescrevendo os coeficientes, temos
-\tfrac12+ \tfrac{3}{2}x^{2}=\tfrac{1}{2}(3x^{2}-1), \quad -\tfrac{3}{2}x+\tfrac{5}{2}x^{3}=\tfrac{1}{2}(5x^{3}-3x).
Estes são exatamente
P_{0}(x)=1, \quad P_{1}(x)=x, \quad P_{2}(x)=\tfrac{1}{2}(3x^{2}-1), \quad P_{3}(x)=\tfrac{1}{2}(5x^{3}-3x),
confirmando que F(u)=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)\,u^{n}.

Resposta

F(u)=1 + x\,u + \tfrac{1}{2}(3x^{2}-1)\,u^{2} + \tfrac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,u^{3} +O(u^{4}).

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