Expanda a função
em série de Taylor até o termo em
. Observe que os coeficientes são os quatro primeiros polinômios de Legendre
. Na realidade,
é uma função geradora para todos os polinômios de Legendre:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
até o termo em
. O conteúdo principal é a aplicação da série binomial generalizada para expoente
, reconhecendo depois os coeficientes como polinômios de Legendre.
Passo 2
Usamos a expansão binomial para expoente
:
onde aqui
. Manteremos apenas os termos com
, pois só contribuem até
.
Passo 3
Calculamos os coeficientes gerais
E as potências de
relevantes são
Passo 4
Agora montamos a soma parcial até
e colecionamos termos em
:
dá
.
dá
Somando tudo até
resulta
Passo 5
Reescrevendo os coeficientes, temos
Estes são exatamente
confirmando que
.