Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de uma casca esférica condutora conectada à terra. Determine o potencial no interior da casca. (Sugestão: Use harmônicos zonais que sejam regulares na origem para satisfazer as condições de contorno na casca.)
Passo 1
O enunciado pede o potencial gerado por um dipolo pontual de momento
colocado na origem (eixo
) dentro de uma casca esférica condutora de raio
ligada à terra (potencial zero em
). O problema é resolver a equação de Laplace no interior
, impondo regularidade na origem e a condição de contorno
. Vamos usar expansão em harmônicos zonais (apenas o termo
, pois o dipolo gera dependência
).
Passo 2
No interior da casca, a solução geral (fora da região singular na origem) separável em
e
para o modo
é
onde
. O termo em
corresponde à parte singular responsável pelo dipolo, e o termo em
vem da indução de cargas na casca.
Passo 3
Como temos um dipolo de momento
na origem, em distâncias pequenas
o potencial deve tender a
Comparando com o termo
obtemos
Passo 4
Impondo a condição de contorno de terra na casca,
, temos
Passo 5
Substituindo
e
na expressão geral, o potencial no interior
é