Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de uma casca esférica condutora conectada à terra. Determine o potencial no interior da casca. (Sugestão: Use harmônicos zonais que sejam regulares na origem para satisfazer as condições de contorno na casca.)

Passo 1

O enunciado pede o potencial gerado por um dipolo pontual de momento \mathbf p colocado na origem (eixo z) dentro de uma casca esférica condutora de raio R ligada à terra (potencial zero em r=R). O problema é resolver a equação de Laplace no interior 0<r<R, impondo regularidade na origem e a condição de contorno V(R,\theta)=0. Vamos usar expansão em harmônicos zonais (apenas o termo l=1, pois o dipolo gera dependência \cos\theta).

Passo 2

No interior da casca, a solução geral (fora da região singular na origem) separável em r e \theta para o modo l=1 é
V(r,\theta)=\bigl(A\,r + B\,r^{-2}\bigr)P_{1}(\cos\theta)
onde P_{1}(\cos\theta)=\cos\theta. O termo em r^{-2} corresponde à parte singular responsável pelo dipolo, e o termo em r^{1} vem da indução de cargas na casca.

Passo 3

Como temos um dipolo de momento \mathbf p\parallel z na origem, em distâncias pequenas r\to0 o potencial deve tender a
V(r,\theta)\sim \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{p\cos\theta}{r^{2}}\,.
Comparando com o termo B\,r^{-2}\cos\theta obtemos
B=\frac{p}{4\pi\epsilon_{0}}\,.

Passo 4

Impondo a condição de contorno de terra na casca, V(R,\theta)=0, temos
A\,R + B\,R^{-2}=0 \quad\Longrightarrow\quad A=-\,\frac{B}{R^{3}} =-\,\frac{p}{4\pi\epsilon_{0}\,R^{3}}.

Passo 5

Substituindo A e B na expressão geral, o potencial no interior r<R é
V(r,\theta) =\frac{p}{4\pi\epsilon_{0}}\cos\theta \Bigl(\frac{1}{r^{2}}-\frac{r}{R^{3}}\Bigr).

Resposta

V(r,\theta)=\frac{p}{4\pi\epsilon_{0}}\cos\theta \Bigl(\frac{1}{r^{2}}-\frac{r}{R^{3}}\Bigr), \quad 0<r<R.

Exercícios relacionados