Expanda em série de Fourier de senos e cossenos as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
a) f(t)=|t|=llt, & para 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de Fourier de senos e cossenos. A função está definida no intervalo e é periódica. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como uma soma de funções senoidais (seno e cosseno) com diferentes frequências e amplitudes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se a função f(-t) = |-t| = |t| = f(t) é par, ímpar ou nenhuma das duas. Uma função é par se e ímpar se .
Vamos verificar:
Para ,
Portanto, a função é par.

Passo 3

Como a função é par, na série de Fourier teremos apenas termos de cosseno, já que os termos de seno correspondem a funções ímpares e, portanto, não aparecem na expansão de funções pares.
A série de Fourier para uma função par f(t) = a0 + sumn=1^infty an cos(nt) definida no intervalo é dada por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes a0 = 12pi integral-pi^pi f(t) , dt e an = 1pi integral-pi^pi f(t) cos(nt) , dt .
O coeficiente é dado por:
E para ,

Passo 5

Como a função é par, podemos simplificar os cálculos integrando de a0 = 12pi cdot 2 integral0^pi t , dt = 1pi integral0^pi t , dt a an = 2pi integral0^pi t cos(nt) , dt e multiplicando por 2:
Para :
Para :

Passo 6

Calculando a0 = 1pi [ t^22 ]0^pi = 1pi ( pi^22 - 0 ) = pi2 :

Passo 7

Agora, vamos calcular u = t Rightarrow du = dt .
Usaremos a integração por partes, onde:
dv = cos(nt) , dt Rightarrow v = sin(nt)n
integral u , dv = uv - integral v , du
Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t cos(nt) , dt = t cdot sin(nt)n - integral sin(nt)n , dt
Então:
= t sin(nt)n + cos(nt)n^2 + C
[ pi sin(npi)n + cos(npi)n^2 ] - [ 0 + cos(0)n^2 ]
Avaliado de = pi sin(npi)n + cos(npi) - 1n^2 a = 0 + (-1)^n - 1n^2 :
= (-1)^n - 1n^2
an = 2pi cdot (-1)^n - 1n^2
Sabemos que e , então:
Portanto:

Passo 8

Simplificando an = 2pi cdot (-1)^n - 1n^2 = 2pi cdot ( (-1)^nn^2 - 1n^2 ) :
= 2pi cdot ( (-1)^n - 1n^2 )

Passo 9

Agora, substituímos f(t) = pi2 + sumn=1^infty ( 2pi cdot (-1)^n - 1n^2 ) cos(nt) e na série de Fourier:

Resposta

A expansão em série de Fourier de f(t) = pi2 + 2pi sumn=1^infty (-1)^n - 1n^2 cos(nt) é dada por:

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