Expanda em série de Fourier de senos e cossenos as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para expandir a função
em uma série de Fourier de senos e cossenos. A função está definida no intervalo
e é periódica. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como uma soma de funções senoidais (seno e cosseno) com diferentes frequências e amplitudes.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Uma função é par se
e ímpar se
.
Vamos verificar:
Para
,
Portanto, a função é par.
Passo 3
Como a função é par, na série de Fourier teremos apenas termos de cosseno, já que os termos de seno correspondem a funções ímpares e, portanto, não aparecem na expansão de funções pares.
A série de Fourier para uma função par
definida no intervalo
é dada por:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
e
.
O coeficiente
é dado por:
E para
,
Passo 5
Como a função é par, podemos simplificar os cálculos integrando de
a
e multiplicando por 2:
Para
:
Para
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
.
Usaremos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Então:
Avaliado de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto:
Passo 8
Simplificando
:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na série de Fourier:
Resposta
A expansão em série de Fourier de
é dada por: