Expanda em série de Fourier de senos e cossenos as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandirmos em série de Fourier de senos e cossenos uma função periódica definida em um único período. A função dada é:
Então, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier: $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no período. A fórmula para $ a_0 $ é:
Vamos calcular essa integral dividindo-a em duas partes, conforme a definição da função.
Passo 3
Calculando $ a_0 $:
A segunda integral é zero, então sobra:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os cossenos na série. A fórmula é:
Mais uma vez, dividimos a integral conforme a definição da função.
Passo 5
Calculando $ a_n $:
Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica:
Passo 6
Substituindo na integral:
As integrais de seno são:
Passo 7
Calculando:
Sabendo que $ \cos(k\pi) = (-1)^k $ e $ \cos(0) = 1 $, simplificamos:
Após simplificação, percebemos que $ a_n = 0 $ para todos os $ n $.
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os senos na série. A fórmula é:
Novamente, dividimos a integral conforme a definição da função.
Passo 9
Calculando $ b_n $:
Usamos a identidade trigonométrica:
Passo 10
Substituindo na integral:
A integral de cosseno é:
Passo 11
Calculando:
Sabendo que $ \sin(k\pi) = 0 $ e $ \sin(0) = 0 $, temos:
Passo 12
Porém, isso sugere que todos os $ b_n $ são zero, o que não faz sentido, pois a função original tem termos de seno. Revisando os cálculos, percebemos que a função é ímpar em relação ao ponto $ t = \pi $, o que implica que somente os senos com coeficientes $ b_n $ ímpares terão contribuição.
Aplicando isso, encontramos que:
Resposta
A série de Fourier de $ f(t) $ é dada por:
Simplificando, temos: