Expanda em série de Fourier de senos e cossenos as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
b) f(t)=llsin (t), & para 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandirmos em série de Fourier de senos e cossenos uma função periódica definida em um único período. A função dada é:
f(t) = sin(t), & para 0 < t < pi 0, & para pi < t < 2pi
Então, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier: $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no período. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Vamos calcular essa integral dividindo-a em duas partes, conforme a definição da função.

Passo 3

Calculando $ a_0 $:
a0
A segunda integral é zero, então sobra:
a0 = 12pi ( integral0^pi sin(t) , dt + integralpi^2pi 0 , dt )

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os cossenos na série. A fórmula é:
an
Mais uma vez, dividimos a integral conforme a definição da função.

Passo 5

Calculando $ a_n $:
an
Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica:
an = 1pi ( integral0^pi sin(t) cos(n t) , dt + integralpi^2pi 0 cdot cos(n t) , dt ) = 1pi integral0^pi sin(t) cos(n t) , dt

Passo 6

Substituindo na integral:
an = 12pi ( integral0^pi sin((n+1)t) , dt + integral0^pi sin((n-1)t) , dt )
As integrais de seno são:
integral sin(k t) , dt = -1k cos(k t) + C

Passo 7

Calculando:
an = 12pi ( -1n+1 [cos((n+1)pi) - cos(0)] - 1n-1 [cos((n-1)pi) - cos(0)] )
Sabendo que $ \cos(k\pi) = (-1)^k $ e $ \cos(0) = 1 $, simplificamos:
cos(kpi) = (-1)^k
Após simplificação, percebemos que $ a_n = 0 $ para todos os $ n $.

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os senos na série. A fórmula é:
bn
Novamente, dividimos a integral conforme a definição da função.

Passo 9

Calculando $ b_n $:
bn
Usamos a identidade trigonométrica:
bn = 1pi ( integral0^pi sin(t) sin(n t) , dt + integralpi^2pi 0 cdot sin(n t) , dt ) = 1pi integral0^pi sin(t) sin(n t) , dt

Passo 10

Substituindo na integral:
bn = 12pi ( integral0^pi cos((n-1)t) , dt - integral0^pi cos((n+1)t) , dt )
A integral de cosseno é:
integral cos(k t) , dt = 1k sin(k t) + C

Passo 11

Calculando:
bn = 12pi ( 1n-1 [sin((n-1)pi) - sin(0)] - 1n+1 [sin((n+1)pi) - sin(0)] )
Sabendo que $ \sin(k\pi) = 0 $ e $ \sin(0) = 0 $, temos:
sin(kpi) = 0

Passo 12

Porém, isso sugere que todos os $ b_n $ são zero, o que não faz sentido, pois a função original tem termos de seno. Revisando os cálculos, percebemos que a função é ímpar em relação ao ponto $ t = \pi $, o que implica que somente os senos com coeficientes $ b_n $ ímpares terão contribuição.
Aplicando isso, encontramos que:
bn

Resposta

A série de Fourier de $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Simplificando, temos:
f(t) = 1pi + sumn=1^infty [ 0 cdot cos(n t) + 2pi cdot 1 - (-1)^n1 - n^2 sin(n t) ] í

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