Expanda em série de Fourier na forma complexa as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
c) f(t)=llsin (pi t), & para 0 <= t <= 1 0, & para 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente expandir a função $ f(t) $ em uma série de Fourier na forma complexa. O que isso significa? Basicamente, estamos tentando representar a função periódica $ f(t) $ como uma soma de funções exponenciais complexas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier complexas e calcular os coeficientes apropriados para a nossa função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de Fourier na forma complexa. Em vez de usar senos e cossenos, a série de Fourier complexa utiliza exponenciais complexas para representar funções periódicas. A fórmula geral é:
f(t) = sumn=-infty^infty cn e^i n omega0 t
onde $ c_n $ são os coeficientes de Fourier que precisamos encontrar, e $ \omega_0 $ é a frequência fundamental da função.

Passo 3

Vamos identificar o período da nossa função $ f(t) $. Olhando para o enunciado, vemos que a função é definida em $ 0 \leq t \leq 2 $, então o período $ T $ é 2. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
f(t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os coeficientes $ c_n $. A fórmula para calcular $ c_n $ na série de Fourier complexa é:
cn
Vamos usar isso para calcular $ c_n $ para a nossa função $ f(t) $.

Passo 5

Nossa função $ f(t) $ é definida em duas partes:
f(t)
Então, o intervalo de integração para $ c_n $ será de 0 a 2, mas a função é diferente nesses dois subintervalos. Vamos dividir a integral:
f(t) = sin(pi t), & 0 <= t <= 1 0, & 1 < t <= 2
A segunda integral é zero porque $ f(t) = 0 $ nesse intervalo. Então, simplificando:
cn

Passo 6

Vamos resolver a integral:
cn = 12 integral0^1 sin(pi t) e^-i n pi t , dt
Sabemos que $ \sin(\pi t) $ pode ser escrita em termos de exponenciais complexas:
sin(pi t)
Substituindo na integral:
sin(pi t) = e^i pi t - e^-i pi t2i
Simplificando os expoentes:
cn = 12 integral0^1 e^i pi t - e^-i pi t2i e^-i n pi t , dt = 14i integral0^1 ( e^i pi t e^-i n pi t - e^-i pi t e^-i n pi t ) dt

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
cn = 14i ( integral0^1 e^i pi t (1 - n) , dt - integral0^1 e^-i pi t (1 + n) , dt )
A integral de $ e^{a t} $ é $ \frac{e^{a t}}{a} $, então:
e^a t

Passo 8

Simplificando os denominadores e numeradores:
cn = 14i ( e^i pi (1 - n) - 1i pi (1 - n) + e^-i pi (1 + n) - 1i pi (1 + n) )
Fatorando $ \frac{1}{i \pi} $:
1i pi
Como $ \frac{1}{i} = -i $:
cn = 14i cdot 1i pi ( e^i pi (1 - n) - 11 - n + e^-i pi (1 + n) - 11 + n )

Passo 9

Vamos simplificar as exponenciais usando $ e^{i \pi} = -1 $:
e^i pi = -1
e^i pi (1 - n) = e^i pi e^-i pi n = -e^-i pi n
Substituindo na expressão de $ c_n $:
e^-i pi (1 + n) = e^-i pi e^-i pi n = -e^-i pi n
Simplificando os sinais:
cn

Passo 10

Vamos juntar os termos:
cn = e^-i pi n + 14 pi ( 11 - n + 11 + n )
Calculando a soma das frações:
11 - n + 11 + n = (1 + n) + (1 - n)(1 - n)(1 + n) = 21 - n^2
Então:
cn = e^-i pi n + 14 pi cdot 21 - n^2 = e^-i pi n + 12 pi (1 - n^2)

Resposta

A expansão em série de Fourier na forma complexa da função dada é:
f(t) = sumn=-infty^infty e^-i pi n + 12 pi (1 - n^2) , e^i n pi t

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