Expanda em série de Fourier na forma complexa as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente expandir a função $ f(t) $ em uma série de Fourier na forma complexa. O que isso significa? Basicamente, estamos tentando representar a função periódica $ f(t) $ como uma soma de funções exponenciais complexas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier complexas e calcular os coeficientes apropriados para a nossa função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de Fourier na forma complexa. Em vez de usar senos e cossenos, a série de Fourier complexa utiliza exponenciais complexas para representar funções periódicas. A fórmula geral é:
onde $ c_n $ são os coeficientes de Fourier que precisamos encontrar, e $ \omega_0 $ é a frequência fundamental da função.
Passo 3
Vamos identificar o período da nossa função $ f(t) $. Olhando para o enunciado, vemos que a função é definida em $ 0 \leq t \leq 2 $, então o período $ T $ é 2. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os coeficientes $ c_n $. A fórmula para calcular $ c_n $ na série de Fourier complexa é:
Vamos usar isso para calcular $ c_n $ para a nossa função $ f(t) $.
Passo 5
Nossa função $ f(t) $ é definida em duas partes:
Então, o intervalo de integração para $ c_n $ será de 0 a 2, mas a função é diferente nesses dois subintervalos. Vamos dividir a integral:
A segunda integral é zero porque $ f(t) = 0 $ nesse intervalo. Então, simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Sabemos que $ \sin(\pi t) $ pode ser escrita em termos de exponenciais complexas:
Substituindo na integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de $ e^{a t} $ é $ \frac{e^{a t}}{a} $, então:
Passo 8
Simplificando os denominadores e numeradores:
Fatorando $ \frac{1}{i \pi} $:
Como $ \frac{1}{i} = -i $:
Passo 9
Vamos simplificar as exponenciais usando $ e^{i \pi} = -1 $:
Substituindo na expressão de $ c_n $:
Simplificando os sinais:
Passo 10
Vamos juntar os termos:
Calculando a soma das frações:
Então:
Resposta
A expansão em série de Fourier na forma complexa da função dada é: