1. Em uma experiência para se determinar a massa molecular de um gás, um estudante aqueceu um vaso de 3,0 \mathrm{~L} cheio com 0,50 \mathrm{~g} a uma temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C}. A pressão deste gás foi medida em um manômetro de água encontrando 16 cm (faça uma busca na literatura e encontre a densidade da água nesta temperatura).
    (a) Estime a massa molecular deste gás. Para este caso, desconsidere qualquer efeito da pressão atmosférica.
    (b) Se por um descuido experimental e a temperatura variasse para 26^{\circ} \mathrm{C}, qual seria a massa molecular do gás? Discuta o resultado encontrado nesta situação.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista explícita dos dados e das perguntas):
  • Volume do vaso: V=3{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Massa do gás contido: m=0{,}50\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial usada: T_1=10^\circ\mathrm{C}.
  • Leitura do manômetro de água: h=16\\ \mathrm{cm}.
  • Instrução: fazer uma busca na literatura e usar a densidade da água na temperatura pertinente para converter a coluna h em pressão.
  • Pedidos:
    (a) Estimar a massa molar (massa molecular) do gás, desconsiderando pressão atmosférica.
    (b) Se a temperatura variou para 26^\circ\mathrm{C}, qual seria a massa molar calculada nessa condição? Discutir o resultado.

Passo 2

Entendendo como transformar a leitura do manômetro em pressão (fórmula e significado das variáveis).
  • Um manômetro com líquido (água) indica uma diferença de pressão dada por
P=\rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do líquido do manômetro em \mathrm{kg\,m^{-3}},
  • g é a aceleração da gravidade (usamos g=9{,}80665\\ \mathrm{m\,s^{-2}}),
  • h é a altura da coluna de líquido em metros.
  • Observação importante: aqui o enunciado manda “desconsidere qualquer efeito da pressão atmosférica”, portanto usaremos somente a contribuição hidrostática \rho g h como a pressão do gás (pressão manométrica) para os cálculos.

Passo 3

Explicando a relação gás ideal e como obter a massa molar a partir das grandezas medidas.
  • Para um gás ideal vale a lei dos gases:
PV = n R T,
onde:
  • P é a pressão absoluta ou, neste caso, a pressão medida (aqui estamos usando P=\rho g h),
  • V é o volume ocupado pelo gás,
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • O número de mols está relacionado à massa e à massa molar por n=\dfrac{m}{M}, onde m é a massa do gás e M é a massa molar (unidade \mathrm{kg\,mol^{-1}} ou \mathrm{g\,mol^{-1}}).
  • Substituindo n na equação dos gases e isolando M obtém-se a fórmula útil para este problema:
M=\frac{m R T}{P V}.
Aqui é essencial usar unidades consistentes (SI) para que o resultado saia em \mathrm{kg\,mol^{-1}}; depois converte-se para \mathrm{g\,mol^{-1}}.

Passo 4

Valores de densidade da água (busca na literatura) e convenções de unidades que vamos usar.
  • Densidades da água encontradas em tabelas termodinâmicas:
    • a 10^\circ\mathrm{C}: \rho_{10}=999{,}70\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • a 26^\circ\mathrm{C}: \rho_{26}=996{,}79\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
      (estes valores são os típicos tabulados para água pura; adotam-se com 5 dígitos significativos para razoável precisão experimental).
  • Convertemos as grandezas para SI:
    • V=3{,}0\\ \mathrm{L}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • m=0{,}50\\ \mathrm{g}=0{,}00050\\ \mathrm{kg}.
    • h=16\\ \mathrm{cm}=0{,}16\\ \mathrm{m}.
    • Temperaturas em kelvin:
      • T_1=10^\circ\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K}.
      • T_2=26^\circ\mathrm{C}=299{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
    • g=9{,}80665\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 5

Cálculo da pressão medida no manômetro para T_1=10^\circ\mathrm{C}.
  • Usando \rho_{10}=999{,}70\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, g e h:
P_1=\rho_{10} g h = 999{,}70 \times 9{,}80665 \times 0{,}16\\ \mathrm{Pa}.
  • Vamos calcular passo a passo:
    • g h = 9{,}80665\times 0{,}16 = 1{,}569064\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
    • P_1 = 999{,}70\times 1{,}569064 = 1568{,}59\\ \mathrm{Pa} (arredondado às centésimas).
  • Resultado: P_1\approx 1568{,}59\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Cálculo da massa molar usando T_1=10^\circ\mathrm{C} e P_1.
  • Aplicando \displaystyle M=\frac{m R T}{P V} com m=0{,}00050\\ \mathrm{kg}, R, T_1, P_1 e V=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}:
M_1=\frac{0{,}00050\times 8{,}314462618 \times 283{,}15}{1568{,}59\times 3{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Calculemos o numerador e denominador:
    • Numerador \approx 0{,}00050\times 8{,}314462618\times 283{,}15 \approx 1{,}177120.
    • Denominador \approx 1568{,}59\times 0{,}003 = 4{,}70578.
    • Logo M_1\approx 1{,}177120/4{,}70578 \approx 0{,}25017\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Converter para \mathrm{g\,mol^{-1}} multiplicando por 1000:
M_1\approx 250{,}2\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
(Aproximando com três algarismos significativos: 250\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.)

Passo 7

Cálculo da pressão medida no manômetro para T_2=26^\circ\mathrm{C} (usando densidade da água a 26^\circ\mathrm{C}).
  • Agora a densidade do líquido do manômetro muda para \rho_{26}=996{,}79\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. Mantendo h=0{,}16\\ \mathrm{m},
P_2=\rho_{26} g h = 996{,}79\times 9{,}80665\times 0{,}16.
  • Cálculo:
    • g h = 1{,}569064 (mesmo valor como antes),
    • P_2 = 996{,}79\times 1{,}569064 \approx 1564{,}03\\ \mathrm{Pa}.
  • Resultado: P_2\approx 1564{,}03\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Cálculo da massa molar usando T_2=26^\circ\mathrm{C} e P_2.
  • Usando novamente \displaystyle M=\frac{m R T}{P V} com T_2=299{,}15\\ \mathrm{K} e P_2:
M_2=\frac{0{,}00050\times 8{,}314462618\times 299{,}15}{1564{,}03\times 3{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Calculemos:
    • Numerador \approx 0{,}00050\times 8{,}314462618\times 299{,}15 \approx 1{,}243636.
    • Denominador \approx 1564{,}03\times 0{,}003 = 4{,}69209.
    • Logo M_2\approx 1{,}243636/4{,}69209 \approx 0{,}26512\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Converter para \mathrm{g\,mol^{-1}}:
M_2\approx 265{,}1\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
(Aproximação com três algarismos significativos: 265\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.)

Passo 9

Discussão dos resultados e interpretação física (por que mudou e o que isso significa experimentalmente).
  • Comparação numérica: com a mesma leitura do manômetro h=16\\ \mathrm{cm},
    • para T_1=10^\circ\mathrm{C} obteve-se M_1\approx 250\\ \mathrm{g\,mol^{-1}},
    • para T_2=26^\circ\mathrm{C} obteve-se M_2\approx 265\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Por que houve variação?
    • O valor calculado de M depende diretamente da temperatura absoluta T (pois M\propto T para pressão e volume fixos) e também depende da densidade do líquido do manômetro (porque P=\rho g h). Ao aumentar a temperatura para 26^\circ\mathrm{C} usamos T maior e \rho ligeiramente menor, o que resulta em um valor de M maior.
  • Interpretação física e advertências experimentais:
    • Se o recipiente estivesse fechado e a temperatura real do gás aumentasse de 10^\circ\mathrm{C} para 26^\circ\mathrm{C}, a pressão do gás aumentaria e a leitura do manômetro (a altura h) também mudaria — logo não faz sentido manter h fixo e apenas trocar T. No problema assumimos que a leitura do manômetro continua 16\\ \mathrm{cm} (por ex., uma leitura registrada) e recalculamos a pressão usando a densidade da água na nova temperatura.
    • A sensibilidade do resultado mostra que um erro na temperatura (ou não atualizar a densidade do manômetro) pode causar erro percentual significativo na massa molar estimada (aqui ~6% de diferença entre 250 e 265 \mathrm{g\,mol^{-1}}).
    • Além disso, desconsiderar a pressão atmosférica é uma idealização: a pressão absoluta real é P_{\mathrm{atm}}+\rho g h. Se \rho g h é pequeno frente a P_{\mathrm{atm}} (aqui \sim 1{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} frente a 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}), negligenciar P_{\mathrm{atm}} muda completamente o contexto físico — porém o enunciado pediu explicitamente desprezar P_{\mathrm{atm}}.
  • Conclusão prática: é crucial anotar corretamente a temperatura ao medir a pressão com um manômetro de líquido e usar a densidade do líquido na mesma temperatura; pequenas variações de temperatura e densidade causam mudanças não negligenciáveis na massa molar estimada.

Resposta

(a) 250\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}
(b) 265\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}

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