6, 1. (3 p) Numa experiência de espectroscopia de fotoelétrons, uma amostra de \mathrm{N}_{2} é iluminada por uma lâmpada de hélio (comprimento de onda: 58.43 nm ). Os elétrons ejeitados dos orbitais 2 \sigma_{g} das moléculas de \mathrm{N}_{2} têm energia cinética de 9.02 \cdot 10^{-19} \mathrm{~J}. Quanto é a energia de um elétron num orbital 2 \sigma_{g} de \mathrm{N}_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
  • Comprimento de onda da lâmpada de hélio: \lambda = 58,43\\ \mathrm{nm}.
  • Energia cinética dos elétrons ejeitados: K = 9,02\cdot10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Pedido:
  • Determinar a energia de um elétron no orbital 2\sigma_g da molécula de \mathrm{N}_2 (isto é, a energia ligada/orbital antes da ejeção).

Passo 2

Conceito físico necessário (explicado de forma simples): na espectroscopia fotoeletrônica em fase gasosa, um fóton de energia h\nu é absorvido pela molécula e um elétron é ejetado com energia cinética K. A energia de ligação (energia do elétron no orbital, medida positiva como a energia necessária para removê-lo) é dada pela diferença entre a energia do fóton e a energia cinética do elétron. Portanto usamos a equação
E_{\text{orb}} = h\nu - K.
Aqui:
  • E_{\text{orb}} é a energia do elétron no orbital (em joules),
  • h é a constante de Planck,
  • \nu é a frequência do fóton,
  • K é a energia cinética medida do elétron.
Além disso, a energia do fóton pode ser escrita em função do comprimento de onda \lambda como
h\nu = \frac{hc}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz.

Passo 3

Valores das constantes que vamos usar (com unidades):
  • Constante de Planck: h = 6,62607015\cdot10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 2,99792458\cdot10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Carga elementar (para converter J para eV depois, se quisermos): e = 1,602176634\cdot10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Converter o comprimento de onda para metros:
\lambda = 58,43\\ \mathrm{nm} = 58,43\cdot10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a energia do fóton \displaystyle h\nu = \frac{hc}{\lambda}.
Primeiro o produto hc:
hc = (6,62607015\cdot10^{-34})\times(2,99792458\cdot10^{8}) = 1,98644586\cdot10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora dividir por \lambda:
h\nu = \frac{1,98644586\cdot10^{-25}}{58,43\cdot10^{-9}} = 3,39994\cdot10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar a equação da fotoemissão para obter a energia do orbital:
E_{\text{orb}} = h\nu - K = 3,39994\cdot10^{-18}\\\ -\\\ 9,02\cdot10^{-19}.
Fazendo a subtração:
E_{\text{orb}} = 2,49794\cdot10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
E_{\text{orb}} \approx 2,50\cdot10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter a energia para elétron-volts para termos uma referência mais comum em química/física:
E_{\text{orb}}(\mathrm{eV}) = \frac{E_{\text{orb}}(\mathrm{J})}{e} = \frac{2,49794\cdot10^{-18}}{1,602176634\cdot10^{-19}} \approx 15,59\\ \mathrm{eV}.
Arredondando: E_{\text{orb}} \approx 15,6\\ \mathrm{eV}.

Resposta

E_{\text{orb}} \approx 2,50\cdot10^{-18}\\ \mathrm{J}
E_{\text{orb}} \approx 15,6\\ \mathrm{eV}

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