6, 2. (3 p) Numa experiência de espectroscopia de fotoelétrons, uma amostra de \mathrm{N}_{2} é iluminada por uma lâmpada de hélio (comprimento de onda: 58.43 nm ). Os elétrons ejeitados dos orbitais 1 \pi_{u} das moléculas de \mathrm{N}_{2} têm energia cinética de 7.26 \cdot 10^{-19} \mathrm{~J}. Quanto é a energia de um elétron num orbital 1 \pi_{u} de \mathrm{N}_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quanto é a energia de um elétron num orbital 1\pi_u de \mathrm{N}_2?”
Dados fornecidos (vou listar claramente):
  • comprimento de onda da lâmpada de hélio: \lambda = 58{,}43\\ \mathrm{nm},
  • energia cinética dos elétrons ejetados do orbital 1\pi_u: K = 7{,}26\cdot 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Não vou resolver nada aqui ainda; apenas confirmei o que é pedido e quais são os valores conhecidos.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando um fóton incide e ejeta um elétron, a conservação de energia diz que a energia do fóton é gasta para libertar o elétron (energia de ligação ou “binding”) mais a energia cinética que o elétron levará. Escrevendo isso:
E_{\text{fóton}} = E_{\text{ligação}} + K.óçã
Rearranjando para encontrar a energia de ligação (isto é o que o enunciado pede como “energia de um elétron no orbital”):
E_{\text{ligação}} = E_{\text{fóton}} - K.çãó
Agora precisamos calcular E_{\text{fóton}}ó. A energia de um fóton é dada por
E_{\text{fóton}} = h c / \lambda,ó
onde:
  • h é a constante de Planck: h = 6{,}62607015\cdot 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
  • c é a velocidade da luz: c = 2{,}99792458\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.

Passo 3

Converter o comprimento de onda para metros e calcular a energia do fóton passo a passo.
Converter \lambda:
\lambda = 58{,}43\\ \mathrm{nm} = 58{,}43\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}843\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Calcular E_{\text{fóton}}ó:
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda} = \frac{6{,}62607015\cdot 10^{-34}\times 2{,}99792458\cdot 10^{8}}{5{,}843\cdot 10^{-8}}\\ \mathrm{J}.ó
Agora faço a conta numérica (mostrando os passos de ordem de grandeza):
h c = 6{,}62607015\cdot 10^{-34}\times 2{,}99792458\cdot 10^{8}=1{,}98644586\cdot 10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
E_{\text{fóton}} = \frac{1{,}98644586\cdot 10^{-25}}{5{,}843\cdot 10^{-8}} = 3{,}40\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}.ó
(Aproximação justificada pelas algarismos significativos dos dados.)

Passo 4

Agora uso a relação entre energia do fóton, energia de ligação e energia cinética:
E_{\text{ligação}} = E_{\text{fóton}} - K.çãó
Substituo E_{\text{fóton}} = 3{,}40\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}ó e K = 7{,}26\cdot 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Faço a subtração em joules, com atenção às potências de 10:
E_{\text{ligação}} = 3{,}40\cdot 10^{-18} - 7{,}26\cdot 10^{-19}.çã
Para subtrair alinhamos potências iguais, por exemplo escrevendo o segundo termo como 0{,}726\cdot 10^{-18}:
E_{\text{ligação}} = (3{,}400 - 0{,}726)\cdot 10^{-18} = 2{,}674\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}.çã
Arredondando de acordo com os algarismos significativos (os dados têm cerca de 3 algarismos significativos), fica razoável usar:
E_{\text{ligação}} = 2{,}67\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}.çã

Passo 6

Conversão para elétron-volts (útil na espectroscopia): usaremo valor da carga elementar e = 1{,}602176634\cdot 10^{-19}\\ \mathrm{C}. A conversão é
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\cdot 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Logo
E_{\text{ligação}}(\mathrm{eV})=\frac{2{,}674\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}}{1{,}602176634\cdot 10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 16{,}7\\ \mathrm{eV}.çã

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (motivacional): encontramos a energia necessária para remover o elétron do orbital 1\pi_u — ou seja, a energia de ligação desse elétron — igual a aproximadamente 2{,}67\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}, o que corresponde a cerca de 16{,}7\\ \mathrm{eV}. Isso é um valor típico de energias de ligação de elétrons em orbitais moleculares interiores; deu trabalho, mas fizemos passo a passo!

Resposta

2{,}67\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{J}
16{,}7\\ \mathrm{eV}

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