Numa experiência para medir a velocidade das moléculas com uma montagem de discos fendilhados girantes, o aparelho dispunha de cinco discos coaxiais, com 5,0 \mathrm{~cm} de diâmetro, separados por 1,0 \mathrm{~cm}. As fendas na periferia dos discos localizam-se com espaçamento angular de 2^{\circ} entre os discos vizinhos. As intensidades relativas, \mathcal{I}, do feixe de átomos de Kr, em duas temperaturas diferentes e com diferentes velocidades de rotação, foram as seguintes:
\begin{array}{llllll} \nu / \mathrm{Hz} & 20 & 40 & 80 & 100 & 120 \\\\\ \mathcal{I}(40 \mathrm{~K}) & 0,846 & 0,513 & 0,069 & 0,015 & 0,002 \\\\\ \mathcal{I}(100 \mathrm{~K}) & 0,592 & 0,485 & 0,217 & 0,119 & 0,55 \end{array}
Com estes dados, calcular a velocidade média dos átomos em cada temperatura e verificar se confirmam ou não a distribuição teórica para um sistema unidimensional.

Passo 1

O enunciado fornece uma montagem com cinco discos coaxiais e os seguintes dados (peguei esses números da tabela/imagem que você enviou):\n
  • Diâmetro dos discos: 5,0\\ \mathrm{cm} (logo raio 2,5\\ \mathrm{cm}).\n
  • Separação entre discos (distância axial entre faces): 1,0\\ \mathrm{cm}.\n
  • Espaçamento angular entre as fendas nos discos vizinhos: 2^\circ.\n
  • Frequências de rotação testadas: \nu = 20,\;40,\;80,\;100,\;120\\ \mathrm{Hz}.\n
  • Intensidades relativas medidas para o feixe de Kr (duas temperaturas):\n \begin{array}{lcccccc} \nu/\mathrm{Hz} & 20 & 40 & 80 & 100 & 120 \\[3pt] \mathcal{I}(40\\ \mathrm{K}) & 0,846 & 0,513 & 0,069 & 0,015 & 0,002 \\[3pt] \mathcal{I}(100\\ \mathrm{K}) & 0,592 & 0,485 & 0,217 & 0,119 & 0,55\;? \end{array}\n
Observação importante sobre a tabela: na linha de 100\\ \mathrm{K} o último valor aparece na imagem como 0,55. Isso quebra a tendência (as intensidades normalmente decrescem com velocidade), então suspeito que seja um erro de leitura e que o valor correto deva ser 0,055. Vou indicar explicitamente essa incerteza e, para continuar, vou adotar o valor plausível \mathcal{I}(100\\ \mathrm{K},\,120\\ \mathrm{Hz})=0,055. Se você confirmar que na sua tabela original é mesmo 0,55, eu recalculo — mas como você pediu que eu não pergunte nada, sigo com 0,055 (marcado como suposição razoável).
O que o problema pede: calcular a velocidade média dos átomos em cada temperatura a partir desses dados experimentais e verificar se os resultados confirmam a distribuição teórica para um sistema unidimensional.]

Passo 2

Entender como a velocidade é selecionada pelo conjunto de discos (explicação didática).\n
  • A ideia física: uma molécula que sai do primeiro disco deve atravessar sucessivamente os outros discos passando por suas fendas. Entre dois discos consecutivos há uma distância axial s. Enquanto a molécula viaja essa distância, o disco seguinte gira um certo ângulo. Para que a molécula passe, a rotação do disco deve “trazer” a fenda para o alinhamento no tempo certo.\n
  • Se \omega é a velocidade angular do disco ( \omega = 2\pi \nu), o ângulo girado durante o tempo de voo t entre discos é \omega t. Para que a fenda do disco seguinte esteja no lugar certo, esse ângulo deve igualar o deslocamento angular entre fendas consecutivas, \Delta\varphi (ou mais um múltiplo inteiro de 2\pi; tomamos o menor múltiplo, o caso 0<\Delta\varphi<2\pi).\n
  • Portanto a condição de seleção é \omega t = \Delta\varphi.Como o tempo de voo entre discos é t = \dfrac{s}{v}, obtemos \omega \frac{s}{v} = \Delta\varphi \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{\omega s}{\Delta\varphi}.
Aqui: v é a velocidade linear dos átomos (m/s), \omega é a velocidade angular do disco (rad/s), s é a separação axial entre discos (m) e \Delta\varphi é o deslocamento angular entre fendas (rad).

Passo 3

Aplicar a fórmula do passo anterior aos dados numéricos (cálculo simples que pode ser feito na prova rapidamente).\n
  • Converter os dados para o SI: s=1,0\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}. \Delta\varphi = 2^\circ = \dfrac{2\pi}{180} = 0,0349066\\ \mathrm{rad}. \omega = 2\pi\nu.\n
  • Substituindo em v=\dfrac{\omega s}{\Delta\varphi} temos (simplificando os \pi): v=\frac{2\pi\nu\cdot 0,01}{2\pi/180} = 0,01\nu\cdot 180 = 1,8\,\nu.Portanto a relação prática, muito conveniente na prova, é v(\nu) = 1,8\\ \nu\quad\text{(com \(v\) em m/s e \(\nu\) em Hz).}
  • Agora calculamos os valores de v usados na medição: \begin{array}{lccccc} \nu/\mathrm{Hz} & 20 & 40 & 80 & 100 & 120 \\[3pt] v(\nu)/\mathrm{m\,s^{-1}} & 36 & 72 & 144 & 180 & 216 \end{array}]

Passo 4

Como extrair a velocidade média a partir das intensidades medidas (método e cálculo passo a passo).\n
  • Raciocínio: cada medida \mathcal{I}_i em \nu_i é proporcional ao número de átomos com a velocidade amostrada v_i. Logo, uma estimativa discreta da velocidade média é a média ponderada
    \overline{v}=\frac{\sum_i \mathcal{I}_i v_i}{\sum_i \mathcal{I}_i}.
    Aqui \mathcal{I}_i são as intensidades relativas (podem ser deixadas sem unidade) e v_i são as velocidades correspondentes.\n
  • Calculemos para T=40\\ \mathrm{K}. Usamos os dados:
    \begin{array}{lcccccc} v_i\\ (\mathrm{m/s}) & 36 & 72 & 144 & 180 & 216 \\[3pt] \mathcal{I}_i(40\\ \mathrm{K}) & 0,846 & 0,513 & 0,069 & 0,015 & 0,002 \end{array}
    Soma das intensidades:
    S_I = 0,846+0,513+0,069+0,015+0,002 = 1,445.
    Soma ponderada:
    S_{vI} = 36\cdot 0,846 + 72\cdot 0,513 + 144\cdot 0,069 + 180\cdot 0,015 + 216\cdot 0,002.
    Vamos calcular cada termo:
    \begin{aligned} 36\cdot 0,846 &= 30,456,\\\\ 72\cdot 0,513 &= 36,936,\\\\ 144\cdot 0,069 &= 9,936,\\\\ 180\cdot 0,015 &= 2,700,\\\\ 216\cdot 0,002 &= 0,432. \end{aligned}
    Soma ponderada:
    S_{vI}=30,456+36,936+9,936+2,700+0,432 = 80,460.
    Logo a velocidade média estimada é
    \overline{v}_{40\mathrm{K}}=\frac{80,460}{1,445}=55,7\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.})
  • Calculemos para T=100\\ \mathrm{K}. Como expliquei no Passo 1, vou usar a leitura plausível \mathcal{I}(120\\ \mathrm{Hz})=0,055. Assim:
    \begin{array}{lcccccc} v_i\\ (\mathrm{m/s}) & 36 & 72 & 144 & 180 & 216 \\[3pt] \mathcal{I}_i(100\\ \mathrm{K}) & 0,592 & 0,485 & 0,217 & 0,119 & 0,055 \end{array}
    Soma das intensidades:
    S_I = 0,592+0,485+0,217+0,119+0,055 = 1,468.
    Soma ponderada:
    \begin{aligned} 36\cdot 0,592 &= 21,312,\\\\ 72\cdot 0,485 &= 34,920,\\\\ 144\cdot 0,217 &= 31,248,\\\\ 180\cdot 0,119 &= 21,420,\\\\ 216\cdot 0,055 &= 11,880. \end{aligned}
    Soma ponderada:
    S_{vI}=21,312+34,920+31,248+21,420+11,880 = 120,780.
    Velocidade média estimada:
    \overline{v}_{100\mathrm{K}}=\frac{120,780}{1,468}=82,3\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.})]

Passo 5

Comparação com a distribuição teórica unidimensional (aula rápida e cálculo teórico).\n
  • Teoria: para um sistema unidimensional (componente de velocidade v_x), a distribuição de Maxwell-Boltzmann para a componente é gaussiana f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi k T}}\;e^{-m v_x^2/(2kT)}.Se consideramos apenas as partículas que saem numa direção (isto é, valores de v_x>0), a média do valor absoluto da componente (velocidade média positiva) é \langle v_{+}\rangle = \langle |v_x|\rangle = \sqrt{\frac{2kT}{\pi m}}.Aqui k é a constante de Boltzmann ( k=1,380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}) e m é a massa de uma átomo de Kr.\n
  • Massa do átomo de Kr: uso massa molar aproximada M=83,8\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol} (Kr natural). A massa por átomo é m=\frac{M}{N_A}=\frac{83,8\times 10^{-3}}{6,02214076\times 10^{23}}\approx 1,39\times 10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
  • Calculemos \langle v_{+}\rangle para as duas temperaturas: \langle v_{+}\rangle = \sqrt{\frac{2kT}{\pi m}}.Para T=40\\ \mathrm{K}: \langle v_{+}\rangle_{40}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,380649\times 10^{-23}\cdot 40}{\pi\cdot 1,39\times 10^{-25}}}\approx 50,3\\ \mathrm{m/s}.Para T=100\\ \mathrm{K}: \langle v_{+}\rangle_{100}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,380649\times 10^{-23}\cdot 100}{\pi\cdot 1,39\times 10^{-25}}}\approx 79,4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Conclusão e verificação: comparar os valores medidos com os teóricos e interpretar.\n
  • Resultados numéricos resumidos: \begin{aligned} \overline{v}_{40\mathrm{K}}(\text{medida}) &\approx 55,7\\ \mathrm{m/s},\\\ \langle v_{+}\rangle_{40\mathrm{K}}(\text{teoria}) &\approx 50,3\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}Diferença percentual: \dfrac{55,7-50,3}{50,3}\times 100\%\approx 10{,}8\%.\n \begin{aligned} \overline{v}_{100\mathrm{K}}(\text{medida}) &\approx 82,3\\ \mathrm{m/s},\\\ \langle v_{+}\rangle_{100\mathrm{K}}(\text{teoria}) &\approx 79,4\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}Diferença percentual: \dfrac{82,3-79,4}{79,4}\times 100\%\approx 3{,}6\%.\n
  • Interpretação: ambas as velocidades médias experimentais estão próximas das previsões teóricas para a distribuição unidimensional; a concordância é boa (especialmente para 100\\ \mathrm{K}) e razoável para 40\\ \mathrm{K} (diferença ~ 11\%). As discrepâncias podem ser atribuídas a fatores experimentais: amostragem discreta (apenas cinco velocidades amostradas), ruído de fundo, imprecisão na intensidade relativa, possíveis múltiplas ordens de passagem (ângulo \Delta\varphi+2\pi n) e à incerteza que tive ao ler a tabela (usei 0,055 para o último ponto de 100\\ \mathrm{K}).\n
  • Conclusão prática: os dados experimentais, dentro das incertezas e da amostragem grosseira, confirmam qualitativamente a distribuição teórica unidimensional (as velocidades médias estão próximas das previsões).

Resposta

40\\ \mathrm{K}:\\ \overline{v}_{\text{medida}}=55{,}7\\ \mathrm{m/s},\\ \overline{v}_{\text{teoria}}=50{,}3\\ \mathrm{m/s} (diferença \approx 10{,}8\%; concordância razoável).\n
100\\ \mathrm{K}:\\ \overline{v}_{\text{medida}}=82{,}3\\ \mathrm{m/s},\\ \overline{v}_{\text{teoria}}=79{,}4\\ \mathrm{m/s} (diferença \approx 3{,}6\%; boa concordância).

Exercícios relacionados