Numa experiência para medir a velocidade das moléculas com uma montagem de discos fendilhados girantes, o aparelho dispunha de cinco discos coaxiais, com
de diâmetro, separados por
. As fendas na periferia dos discos localizam-se com espaçamento angular de
entre os discos vizinhos. As intensidades relativas,
, do feixe de átomos de Kr, em duas temperaturas diferentes e com diferentes velocidades de rotação, foram as seguintes:
Com estes dados, calcular a velocidade média dos átomos em cada temperatura e verificar se confirmam ou não a distribuição teórica para um sistema unidimensional.
Passo 1
O enunciado fornece uma montagem com cinco discos coaxiais e os seguintes dados (peguei esses números da tabela/imagem que você enviou):\n
- Diâmetro dos discos:
(logo raio ).\n - Separação entre discos (distância axial entre faces):
.\n - Espaçamento angular entre as fendas nos discos vizinhos:
.\n - Frequências de rotação testadas:
.\n - Intensidades relativas medidas para o feixe de Kr (duas temperaturas):\n
\n
Observação importante sobre a tabela: na linha de
o último valor aparece na imagem como
. Isso quebra a tendência (as intensidades normalmente decrescem com velocidade), então suspeito que seja um erro de leitura e que o valor correto deva ser
. Vou indicar explicitamente essa incerteza e, para continuar, vou adotar o valor plausível
. Se você confirmar que na sua tabela original é mesmo
, eu recalculo — mas como você pediu que eu não pergunte nada, sigo com
(marcado como suposição razoável).
O que o problema pede: calcular a velocidade média dos átomos em cada temperatura a partir desses dados experimentais e verificar se os resultados confirmam a distribuição teórica para um sistema unidimensional.]
Passo 2
Entender como a velocidade é selecionada pelo conjunto de discos (explicação didática).\n
- A ideia física: uma molécula que sai do primeiro disco deve atravessar sucessivamente os outros discos passando por suas fendas. Entre dois discos consecutivos há uma distância axial
. Enquanto a molécula viaja essa distância, o disco seguinte gira um certo ângulo. Para que a molécula passe, a rotação do disco deve “trazer” a fenda para o alinhamento no tempo certo.\n - Se
é a velocidade angular do disco ( ), o ângulo girado durante o tempo de voo entre discos é . Para que a fenda do disco seguinte esteja no lugar certo, esse ângulo deve igualar o deslocamento angular entre fendas consecutivas, (ou mais um múltiplo inteiro de ; tomamos o menor múltiplo, o caso ).\n - Portanto a condição de seleção é
Como o tempo de voo entre discos é , obtemos
Aqui:
é a velocidade linear dos átomos (m/s),
é a velocidade angular do disco (rad/s),
é a separação axial entre discos (m) e
é o deslocamento angular entre fendas (rad).
Passo 3
Aplicar a fórmula do passo anterior aos dados numéricos (cálculo simples que pode ser feito na prova rapidamente).\n
- Converter os dados para o SI:
. . .\n - Substituindo em
temos (simplificando os ): Portanto a relação prática, muito conveniente na prova, é - Agora calculamos os valores de
usados na medição: ]
Passo 4
Como extrair a velocidade média a partir das intensidades medidas (método e cálculo passo a passo).\n
-
Raciocínio: cada medida
em é proporcional ao número de átomos com a velocidade amostrada . Logo, uma estimativa discreta da velocidade média é a média ponderada Aquisão as intensidades relativas (podem ser deixadas sem unidade) e são as velocidades correspondentes.\n -
Calculemos para
. Usamos os dados: Soma das intensidades:Soma ponderada:Vamos calcular cada termo:Soma ponderada:Logo a velocidade média estimada é -
Calculemos para
. Como expliquei no Passo 1, vou usar a leitura plausível . Assim: Soma das intensidades:Soma ponderada:Soma ponderada:Velocidade média estimada:]
Passo 5
Comparação com a distribuição teórica unidimensional (aula rápida e cálculo teórico).\n
- Teoria: para um sistema unidimensional (componente de velocidade
), a distribuição de Maxwell-Boltzmann para a componente é gaussiana Se consideramos apenas as partículas que saem numa direção (isto é, valores de ), a média do valor absoluto da componente (velocidade média positiva) é Aqui é a constante de Boltzmann ( ) e é a massa de uma átomo de Kr.\n - Massa do átomo de Kr: uso massa molar aproximada
(Kr natural). A massa por átomo é - Calculemos
para as duas temperaturas: Para : Para :
Passo 6
Conclusão e verificação: comparar os valores medidos com os teóricos e interpretar.\n
- Resultados numéricos resumidos:
Diferença percentual: .\n Diferença percentual: .\n - Interpretação: ambas as velocidades médias experimentais estão próximas das previsões teóricas para a distribuição unidimensional; a concordância é boa (especialmente para
) e razoável para (diferença ~ ). As discrepâncias podem ser atribuídas a fatores experimentais: amostragem discreta (apenas cinco velocidades amostradas), ruído de fundo, imprecisão na intensidade relativa, possíveis múltiplas ordens de passagem (ângulo ) e à incerteza que tive ao ler a tabela (usei para o último ponto de ).\n - Conclusão prática: os dados experimentais, dentro das incertezas e da amostragem grosseira, confirmam qualitativamente a distribuição teórica unidimensional (as velocidades médias estão próximas das previsões).