A experiência com trabalhadores de uma indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído normalmente com variância de 144 minutos. Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu média de 140 min . Determinar os limites de confiança de 90 \% para média da população de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo necessário para realizar a tarefa segue uma distribuição normal com variância \sigma^2 = 144 minuto s^{2}, ou seja, \sigma = 12 minutos. Temos uma amostra de tamanho n = 25 que apresentou média amostral \bar x = 140 minutos. Queremos o intervalo de confiança de 90 % para a média populacional \mu. Para isso, usamos a fórmula
\bar x \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
com \alpha = 1 - 0{,}90 = 0{,}10.

Passo 2

Determinar o valor crítico da distribuição normal padrão para \alpha/2 = 0{,}05.
z_{1-\frac{\alpha}{2}} = z_{0{,}95} = 1{,}645.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2{,}4.

Passo 4

Calcular a margem de erro E:
E = z_{0{,}95}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}645 \times 2{,}4 = 3{,}948 \approx 3{,}95.

Passo 5

Construir os limites do intervalo:
\bar x - E = 140 - 3{,}95 = 136{,}05, \quad \bar x + E = 140 + 3{,}95 = 143{,}95.

Resposta

O intervalo de confiança de 90 % para \mu é
[136,05;\;143,95]\text{ minutos.}

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