Em um experimento que consiste em observar o alcance obtido no lançamento de foguetes feitos com canudos plásticos, está sendo estudada a fração de lançamentos que atingem um alcance mínimo desejado. Em uma amostra de 300 lançamentos, 13 deles não atingiram o alcance mínimo. Obtenha e interprete um intervalo de confiança de
para a verdadeira fração (proporção) de foguetes que não atingiram o alcance mínimo. (
: [0,02029;0,06637])
Passo 1
O enunciado pede que se obtenha e interprete um intervalo de confiança de
para a verdadeira fração (proporção) de lançamentos que NÃO atingiram o alcance mínimo. Informações fornecidas:
- Número de lançamentos:
. - Número de lançamentos que não atingiram o alcance mínimo:
.
Pergunta explícita: construir um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira
de lançamentos que falham em atingir o alcance mínimo, e interpretar esse intervalo.
Passo 2
Definir e calcular a estimativa pontual (proporção amostral). A proporção amostral
é a melhor estimativa de
a partir dos dados e calcula-se por
Substituindo
e
,
Interpretação simples: na amostra observada, cerca de
dos lançamentos não atingiram o alcance mínimo.
Passo 3
Escolha do método para construir o intervalo: método da aproximação normal (intervalo “Wald”)
- Regra prática para usar essa aproximação: é razoável quando
e . - Verificação com nossos dados:
ambos maiores que
. Portanto a aproximação normal é aceitável aqui.
Fórmula do intervalo de confiança (nível
; aqui
):
onde
é o quantil da distribuição normal padrão (para
,
) e a raiz é o erro padrão de
.
Passo 4
Calcular o erro padrão (SE). Primeiro a expressão dentro da raiz:
Agora dividir por
e tirar a raiz:
Explicando: o erro padrão mede a variabilidade típica da proporção amostral
se repetíssemos muitos experimentos iguais.
Passo 5
Calcular a margem de erro com
:
Portanto o intervalo é
Passo 6
Calcular os limites numéricos do intervalo:
Arredondando de forma conveniente (cinco casas decimais) obtém-se o intervalo aproximado
Passo 7
Interpretação do intervalo (linguagem prática e correta):
- O intervalo de confiança de
significa que, com o procedimento usado, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos um intervalo dessa forma a partir de cada amostra, aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira proporção . - Aplicando ao caso: com base na amostra, podemos dizer com
de confiança que a verdadeira fração de foguetes que NÃO atingem o alcance mínimo está entre cerca de e (valores em porcentagem: e ). - Observação prática e de exame: escreva o resultado como intervalo numérico e acrescente a interpretação em palavras curta, como acima.