Em um experimento que consiste em observar o alcance obtido no lançamento de foguetes feitos com canudos plásticos, está sendo estudada a fração de lançamentos que atingem um alcance mínimo desejado. Em uma amostra de 300 lançamentos, 13 deles não atingiram o alcance mínimo. Obtenha e interprete um intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira fração (proporção) de foguetes que não atingiram o alcance mínimo. ( R : [0,02029;0,06637])

Passo 1

O enunciado pede que se obtenha e interprete um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira fração (proporção) de lançamentos que NÃO atingiram o alcance mínimo. Informações fornecidas:
  • Número de lançamentos: n=300.
  • Número de lançamentos que não atingiram o alcance mínimo: x=13.
Pergunta explícita: construir um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p de lançamentos que falham em atingir o alcance mínimo, e interpretar esse intervalo.

Passo 2

Definir e calcular a estimativa pontual (proporção amostral). A proporção amostral \hat{p} é a melhor estimativa de p a partir dos dados e calcula-se por
\hat{p}=\dfrac{x}{n}.
Substituindo x=13 e n=300,
\hat{p}=\dfrac{13}{300}=0,04333\ldots \approx 0,04333.
Interpretação simples: na amostra observada, cerca de 4{,}33\% dos lançamentos não atingiram o alcance mínimo.

Passo 3

Escolha do método para construir o intervalo: método da aproximação normal (intervalo “Wald”)
  • Regra prática para usar essa aproximação: é razoável quando n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5.
  • Verificação com nossos dados:
n\hat{p}=300\cdot0,04333\ldots = 13 \quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=300-13=287,
ambos maiores que 5. Portanto a aproximação normal é aceitável aqui.
Fórmula do intervalo de confiança (nível 1-\alpha; aqui \alpha=0{,}05):
\text{IC}_{1-\alpha}=\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (para 95\%, z_{0{,}975}\approx 1{,}96) e a raiz é o erro padrão de \hat{p}.

Passo 4

Calcular o erro padrão (SE). Primeiro a expressão dentro da raiz:
\hat{p}(1-\hat{p})=\dfrac{13}{300}\left(1-\dfrac{13}{300}\right)=\dfrac{13\cdot 287}{300^2}=\dfrac{3731}{90\,000}\approx 0,0414556.
Agora dividir por n=300 e tirar a raiz:
\mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{3731}{27\,000\,000}}\approx 0,01177.
Explicando: o erro padrão mede a variabilidade típica da proporção amostral \hat{p} se repetíssemos muitos experimentos iguais.

Passo 5

Calcular a margem de erro com z_{0{,}975}\approx 1{,}96:
\text{margem}=z_{0{,}975}\cdot\mathrm{SE}\approx 1{,}96\cdot 0,01177\approx 0,02306.
Portanto o intervalo é
\hat{p}\pm\text{margem}=0,04333\pm 0,02306.

Passo 6

Calcular os limites numéricos do intervalo:
\text{limite inferior}=0,04333-0,02306\approx 0,02027,
\text{limite superior}=0,04333+0,02306\approx 0,06639.
Arredondando de forma conveniente (cinco casas decimais) obtém-se o intervalo aproximado
[0,02028;\;0,06639].

Passo 7

Interpretação do intervalo (linguagem prática e correta):
  • O intervalo de confiança de 95\% significa que, com o procedimento usado, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos um intervalo dessa forma a partir de cada amostra, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção p.
  • Aplicando ao caso: com base na amostra, podemos dizer com 95\% de confiança que a verdadeira fração de foguetes que NÃO atingem o alcance mínimo está entre cerca de 2{,}03\% e 6{,}64\% (valores em porcentagem: 0,0203 e 0,0664).
  • Observação prática e de exame: escreva o resultado como intervalo numérico e acrescente a interpretação em palavras curta, como acima.

Resposta

[0,02028;\;0,06639]

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