Deve ser realizado um experimento para avaliar o tempo que um determinado resíduo demora para começar a lixiviar. Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo
médio até iniciar o processo de lixiviação, sabendo-se que, historicamente, o tempo tem desvio padrão de 3 minutos? Considere um erro máximo de 0,9 minutos e um nível de significância de 1% (R: 74)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dado histórico do desvio padrão: \sigma = 3 minutos.
  • Erro máximo tolerável (margem de erro): E = 0{,}9 minutos.
  • Nível de significância: \alpha = 0{,}01 (ou seja, nível de confiança 1-\alpha = 0{,}99, ou 99\%).
  • O que é pedido: determinar o tamanho da amostra necessário n para estimar o tempo médio até iniciar a lixiviação, de modo que o erro máximo do intervalo de confiança para a média seja E, usando o nível de significância dado.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, para construir um intervalo de confiança para a média populacional \mu usa-se a distribuição normal padrão. A margem de erro E de um intervalo de confiança bilateral com nível de confiança 1-\alpha satisfaz a fórmula
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • E é a margem de erro desejada,
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (por exemplo, para 99\% de confiança, \alpha/2=0{,}005),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido,
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar.
Esta fórmula vem da forma do intervalo de confiança para a média quando \sigma é conhecido:
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Resolver a fórmula para n (passo algébrico detalhado):
A partir de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
isolamos \sqrt{n} e depois n:
\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E},
portanto
n = \left(z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}\right)^{2}.
Isto significa que, para calcular n, precisamos do valor de z_{\alpha/2} correspondente a \alpha/2.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para o nível de confiança 99\%:
  • Aqui \alpha = 0{,}01, logo \alpha/2 = 0{,}005.
  • O quantil z_{\alpha/2} é o valor de z tal que P(Z>z)=0{,}005 para Z\sim N(0,1). Em tabelas de normal padrão ou usando função inversa, esse valor é aproximadamente
z_{0{,}005} \approx 2{,}5758.
(Para estudar: em tabelas de Z ou em calculadora estatística busca-se o quantil 0{,}995 da normal padrão, que dá z\approx2{,}5758.)

Passo 5

Substituir números e calcular passo a passo:
Primeiro calcule a razão \dfrac{\sigma}{E}:
\frac{\sigma}{E} = \frac{3}{0{,}9} = \frac{10}{3} \approx 3{,}333333.
Agora calcule o produto z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{E}:
z_{0{,}005}\,\frac{\sigma}{E} \approx 2{,}5758 \times 3{,}333333 \approx 8{,}5861.
Finalmente, eleve ao quadrado para obter n:
n \approx (8{,}5861)^{2} \approx 73{,}73.

Passo 6

Arredondamento e interpretação prática:
O valor n obtido é o tamanho amostral real (não inteiro) necessário para garantir a margem de erro. Como não podemos coletar fração de uma observação, devemos arredondar para cima (sempre arredonda-se para o próximo inteiro) para garantir que a margem de erro seja, no máximo, E. Assim,
n = \lceil 73{,}73\rceil = 74.
Portanto deve-se coletar 74 amostras.

Resposta

74

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