Deve ser realizado um experimento para avaliar o tempo que um determinado resíduo demora para começar a lixiviar. Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo
médio até iniciar o processo de lixiviação, sabendo-se que, historicamente, o tempo tem desvio padrão de 3 minutos? Considere um erro máximo de 0,9 minutos e um nível de significância de 1% (R: 74)
médio até iniciar o processo de lixiviação, sabendo-se que, historicamente, o tempo tem desvio padrão de 3 minutos? Considere um erro máximo de 0,9 minutos e um nível de significância de 1% (R: 74)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Dado histórico do desvio padrão:
minutos. - Erro máximo tolerável (margem de erro):
minutos. - Nível de significância:
(ou seja, nível de confiança , ou ). - O que é pedido: determinar o tamanho da amostra necessário
para estimar o tempo médio até iniciar a lixiviação, de modo que o erro máximo do intervalo de confiança para a média seja , usando o nível de significância dado.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando o desvio padrão populacional é conhecido, para construir um intervalo de confiança para a média populacional
usa-se a distribuição normal padrão. A margem de erro
de um intervalo de confiança bilateral com nível de confiança
satisfaz a fórmula
Quando o desvio padrão populacional
onde:
-
é a margem de erro desejada, -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é (por exemplo, para de confiança, ), -
é o desvio padrão populacional conhecido, -
é o tamanho da amostra que queremos achar.
Esta fórmula vem da forma do intervalo de confiança para a média quando
é conhecido:
Passo 3
Resolver a fórmula para
(passo algébrico detalhado):
A partir de
A partir de
isolamos
e depois
:
portanto
Isto significa que, para calcular
, precisamos do valor de
correspondente a
.
Passo 4
Determinar
para o nível de confiança
:
- Aqui
, logo . - O quantil
é o valor de tal que para . Em tabelas de normal padrão ou usando função inversa, esse valor é aproximadamente
(Para estudar: em tabelas de
ou em calculadora estatística busca-se o quantil
da normal padrão, que dá
.)
Passo 5
Substituir números e calcular passo a passo:
Primeiro calcule a razão :
Primeiro calcule a razão
Agora calcule o produto
:
Finalmente, eleve ao quadrado para obter
:
Passo 6
Arredondamento e interpretação prática:
O valor obtido é o tamanho amostral real (não inteiro) necessário para garantir a margem de erro. Como não podemos coletar fração de uma observação, devemos arredondar para cima (sempre arredonda-se para o próximo inteiro) para garantir que a margem de erro seja, no máximo,
. Assim,
O valor
Portanto deve-se coletar
amostras.
Resposta
74