Num experimento de espectroscopia de fotoelétrons, uma amostra de \mathrm{O}_{2} (energia de ionização 12,03 \mathrm{eV} ) é irradiada usando uma lâmpada de neônio (comprimento de onda da radiação 73,32 \mathrm{~nm} ).
Se o raio da curvatura do analisador de energia é de 20 cm , qual o módulo da diferença de potencial que tem que ser aplicado nele para que os fotoelétrons cheguem no detector?
Escolha uma opção:
124,2 \mathrm{~V}
13,2 \mathrm{~V}
81,1 \mathrm{~V}
56,3 \mathrm{~V}
91,9 \mathrm{~V}
48,8 \mathrm{~V}

Passo 1

O enunciado pede o módulo da diferença de potencial que deve ser aplicada no analisador para que os fotoelétrons emitidos atinjam o detector. Dados fornecidos:
  • Energia de ionização do \mathrm{O}_2: \,12{,}03\\ \mathrm{eV}.
  • Comprimento de onda da radiação da lâmpada de neônio: \,73{,}32\\ \mathrm{nm}.
  • Raio da curvatura do analisador de energia: \,20\\ \mathrm{cm}.
Pergunta explícita: qual o módulo da diferença de potencial que deve ser aplicada no analisador para que os fotoelétrons cheguem ao detector? (Foram dadas seis alternativas numéricas.)

Passo 2

Entendimento físico e fórmulas básicas (aula rápida e calma). Quando um fóton incide num átomo e ioniza um elétron, a conservação de energia dá a energia cinética do fotoelétron:
K = h\nu - I,
onde:
  • K é a energia cinética do elétron (em \mathrm{J} ou \mathrm{eV});
  • h\nu é a energia do fóton ( h é a constante de Planck e \nu a frequência);
  • I é a energia de ionização (binding energy) em \mathrm{eV}.
A relação entre comprimento de onda \lambda e energia do fóton é
h\nu = \frac{hc}{\lambda},
onde:
  • c é a velocidade da luz;
  • hc convenientemente usado em unidades práticas vale aproximadamente 1239{,}84\\ \mathrm{eV\cdot nm}. (Isto já converte J para eV automaticamente quando \lambda está em nm.)
Outra ideia importante: um elétron com energia cinética K (em \mathrm{eV}) é retido por um potencial elétrico de módulo V tal que
K = eV \quad\Longleftrightarrow\quad V = \frac{K}{e},
mas, em unidades práticas, como K em \mathrm{eV}, o potencial em volts que para o elétron é numericamente igual a K (por exemplo, um elétron com 5\\ \mathrm{eV} de energia cinética é parado por 5\\ \mathrm{V} de potencial retardador). Em linguagem leve: energia em \mathrm{eV} = carga elementar e vezes voltagem em volts, então \mathrm{eV} \leftrightarrow \mathrm{V} numérico.
Observação sobre o raio do analisador: diferentes tipos de analisadores (hemisférico, cilíndrico, magnético, etc.) têm relações mais complexas entre diferença de potencial aplicada e energia de passagem; porém, se o enunciado quer simplesmente a voltagem que leva os fotoelétrons até o detector (i.e., a voltagem retardadora igual à energia cinética), a relação direta V = K (com K em \mathrm{eV}) é a mais usada. Vou calcular primeiro K a partir das informações fornecidas e depois comparar com as alternativas.

Passo 3

Calcular a energia do fóton \,h\nu a partir de \lambda=73{,}32\\ \mathrm{nm}. Usando hc\approx1239{,}84\\ \mathrm{eV\cdot nm},
h\nu = \frac{1239{,}84}{73{,}32}\\ \mathrm{eV}.
Vamos calcular passo a passo:
\frac{1239{,}84}{73{,}32}= \; \text{dividindo} \; \Rightarrow\; 16{,}912\\ \text{(aprox.)}.
Portanto
h\nu \approx 16{,}912\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Calcular a energia cinética dos fotoelétrons usando K = h\nu - I, com I=12{,}03\\ \mathrm{eV}:
K = 16{,}912 - 12{,}03 = 4{,}882\\ \mathrm{eV}.
Arredondando razoavelmente,
K \approx 4{,}88\\ \mathrm{eV}.
Explicando de novo com carinho: isso significa que cada elétron sai da amostra com energia cinética de aproximadamente 4{,}88\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Converter essa energia cinética em diferença de potencial necessária para pará-los (ou para ajustá-los ao analisador), usando a equivalência prática 1\\ \mathrm{eV}\leftrightarrow 1\\ \mathrm{V} para elétron:
V = K \quad\Rightarrow\quad V \approx 4{,}88\\ \mathrm{V}.
Interpretação didática: se o analisador apenas precisa aplicar um potencial retardador para que só elétrons com energia cinética igual a 4{,}88\\ \mathrm{eV} cheguem ao detector, o módulo desse potencial é 4{,}88\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas. As alternativas dadas são:
\,124{,}2\\ \mathrm{V},\\\ 13{,}2\\ \mathrm{V},\\\ 81{,}1\\ \mathrm{V},\\\ 56{,}3\\ \mathrm{V},\\\ 91{,}9\\ \mathrm{V},\\\ 48{,}8\\ \mathrm{V}.
O valor que calculei é \,4{,}88\\ \mathrm{V}, que não aparece entre as alternativas. A alternativa numericamente mais próxima é \,48{,}8\\ \mathrm{V}, mas ela difere por um fator de 10. Não há nenhum dado no enunciado que justifique multiplicar por 10 ou outra constante ad hoc — o cálculo direto da energia do fóton menos energia de ionização dá 4{,}88\\ \mathrm{eV}. Assim, com a física usual do efeito fotoelétrico e da correspondência energia↔potencial, o valor correto é \,4{,}88\\ \mathrm{V} e nenhuma das alternativas fornecidas coincide com esse resultado.
Possíveis fontes de discrepância (para ficar esperto na prova): erro de fator de unidade (por exemplo, confundir nm com outra unidade), erro de impressão das alternativas, ou suposição diferente sobre relação exata entre a diferença de potencial do analisador e a energia de passagem (se o analisador exige uma fórmula geométrica ou logarítmica envolvendo o raio e as geometrias interno/externo, seria preciso essa geometria adicional, que não foi dada). Mas com os dados fornecidos e a interpretação direta, o resultado é 4{,}88\\ \mathrm{V}.

Resposta

Nenhuma das alternativas — 4{,}88\\ \mathrm{V}

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