Em um experimento de espectroscopia, observa-se que, em média, ocorrem 3 picos espúrios por hora devido a ruído instrumental. Supondo que esses eventos ocorram de forma aleatória e independente, qual é a probabilidade de que, em uma hora específica, sejam observados exatamente 5 picos espúrios?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informação: em média ocorrem 3 picos espúrios por hora (ou seja, a média é 3 eventos por hora).
  • Informação: os eventos ocorrem de forma aleatória e independente.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, em uma hora específica, ocorram exatamente 5 picos espúrios?

Passo 2

Qual modelo usar? Quando contamos o número de eventos discretos que ocorrem ao longo de um intervalo de tempo (ou espaço), sob hipóteses de aleatoriedade, independência e taxa média constante, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A fórmula da Poisson para a probabilidade de observar exatamente k eventos é
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo;
  • \lambda é a média (esperança) do número de eventos no intervalo considerado (aqui, por hora);
  • k é o número de eventos que queremos a probabilidade (aqui k=5);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828);
  • k! é o fatorial de k, ou seja k!=k\cdot(k-1)\cdots1.
Explicando de forma simples: e^{-\lambda} pesa a probabilidade de ter poucos eventos; \lambda^k/k! ajusta para o número exato k. Esse modelo é justamente apropriado com os dados fornecidos (média conhecida, eventos independentes e aleatórios).

Passo 3

Aplicando os números do enunciado: \lambda=3 e k=5. Substituindo na fórmula:
\Pr(X=5)=e^{-3}\frac{3^{5}}{5!}.
Calculando os termos simples:
3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243, \qquad 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
Portanto a fração fica
\frac{3^{5}}{5!}=\frac{243}{120}=\frac{81}{40}=2{,}025.
Logo
\Pr(X=5)=2{,}025\;e^{-3}.

Passo 4

Agora precisamos do valor numérico de e^{-3}. Usando e\approx2{,}718281828, tem-se
e^{3}\approx20{,}085537, \qquad e^{-3}=\frac{1}{e^{3}}\approx0{,}04978707.
Multiplicando:
\Pr(X=5)\approx2{,}025\times0{,}04978707\approx0{,}100843.
Arredondando de forma razoável, a probabilidade é aproximadamente 0{,}1008, ou seja cerca de 10{,}08\%.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para a prova: a resposta significa que, mesmo com média 3 picos/hora, observar exatamente 5 picos em uma hora tem probabilidade em torno de 10\%. Na prova, basta reconhecer que é Poisson com \lambda=3, substituir k=5 e calcular e^{-3}3^{5}/5!. Se não der para calcular e^{-3} à mão exatamente, indicar a expressão exata e^{-3}3^{5}/5! já vale parcial dependendo do enunciado; se pedirem número, aproximar usando e\approx2{,}718.

Resposta

\Pr(X=5)=e^{-3}\dfrac{3^{5}}{5!}\approx0{,}1008 (aprox. 10{,}08\%)

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