Em um experimento de espectroscopia, observa-se que, em média, ocorrem 3 picos espúrios por hora devido a ruído instrumental. Supondo que esses eventos ocorram de forma aleatória e independente, qual é a probabilidade de que, em uma hora específica, sejam observados exatamente 5 picos espúrios?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Informação: em média ocorrem
picos espúrios por hora (ou seja, a média é eventos por hora). - Informação: os eventos ocorrem de forma aleatória e independente.
- Pergunta: qual a probabilidade de que, em uma hora específica, ocorram exatamente
picos espúrios?
Passo 2
Qual modelo usar? Quando contamos o número de eventos discretos que ocorrem ao longo de um intervalo de tempo (ou espaço), sob hipóteses de aleatoriedade, independência e taxa média constante, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A fórmula da Poisson para a probabilidade de observar exatamente
eventos é
Aqui:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo; -
é a média (esperança) do número de eventos no intervalo considerado (aqui, por hora); -
é o número de eventos que queremos a probabilidade (aqui ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
é o fatorial de , ou seja .
Explicando de forma simples:
pesa a probabilidade de ter poucos eventos;
ajusta para o número exato
. Esse modelo é justamente apropriado com os dados fornecidos (média conhecida, eventos independentes e aleatórios).
Passo 3
Aplicando os números do enunciado:
e
. Substituindo na fórmula:
Calculando os termos simples:
Portanto a fração fica
Logo
Passo 4
Agora precisamos do valor numérico de
. Usando
, tem-se
Multiplicando:
Arredondando de forma razoável, a probabilidade é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 5
Interpretação rápida e dica para a prova: a resposta significa que, mesmo com média
picos/hora, observar exatamente
picos em uma hora tem probabilidade em torno de
. Na prova, basta reconhecer que é Poisson com
, substituir
e calcular
. Se não der para calcular
à mão exatamente, indicar a expressão exata
já vale parcial dependendo do enunciado; se pedirem número, aproximar usando
.