Em um sistema reacional, ocorrem em média 1,2 eventos de instabilidade por hora. a) Qual é a probabilidade de que, em uma hora, ocorra pelo menos um evento? b) Interprete o resultado obtido no contexto do experimento. Esse valor sugere um sistema estável?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que segue foi extraído do enunciado):
  • Taxa média de eventos de instabilidade: \lambda = 1,2 eventos por hora.
  • Pergunta (a): calcular a probabilidade de que, em uma hora, ocorra pelo menos um evento.
  • Pergunta (b): interpretar esse resultado no contexto do experimento e dizer se esse valor sugere um sistema estável.

Passo 2

Qual modelo probabilístico é adequado e por quê (aula rápida e didática)?
  • Quando temos eventos discretos que ocorrem ao longo do tempo de forma independente, com uma taxa média constante por unidade de tempo, o modelo padrão é o processo de Poisson. Aqui temos exatamente isso: “ocorrem em média \,1,2 eventos por hora”, o que encaixa bem nas hipóteses do processo de Poisson (eventos raros, independentes, taxa constante).
  • A variável aleatória X que conta o número de eventos em uma hora segue a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda igual à média no intervalo considerado. Ou seja:
X \sim \text{Poisson}(\lambda).
  • A função massa de probabilidade (PMF) da Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui \lambda=1,2);
  • k é o número inteiro não negativo de eventos;
  • k! é o fatorial de k;
  • e é a base dos logaritmos naturais.
  • Observação prática: para calcular “pelo menos um evento” é muito comum usar o complemento: P(X\ge 1)=1-P(X=0). Isso evita somar várias probabilidades.

Passo 3

Calcular P(X=0) e usar o complemento:
  • Usando a PMF para k=0:
P(X=0)=\frac{\lambda^{0}e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}.
  • Com \lambda=\;1,2 (peguei este valor do enunciado):
P(X=0)=e^{-1,2}.
  • Podemos avaliar e^{-1,2} sabendo que e^{-1,2}=e^{-1}\cdot e^{-0,2}. Usando valores aproximados:
e^{-1}\approx 0,367879,\qquad e^{-0,2}\approx 0,818731,
então
e^{-1,2}\approx 0,367879\cdot0,818731\approx 0,301194.

Passo 4

Calcular a probabilidade pedida ( P(X\ge 1)):
  • Usando o complemento:
P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-e^{-1,2}.
  • Substituindo o valor aproximado:
P(X\ge 1)\approx 1-0,301194=0,698806.
  • Arredondando para quatro casas decimais fica \,0,6988, ou cerca de 69,88\%.

Passo 5

Interpretação didática do resultado no contexto do experimento
  • O valor \,P(X\ge 1)\approx 0,6988 significa que, em cada hora de observação, há aproximadamente 69,9\% de chance de ocorrer pelo menos uma instabilidade.
  • Em termos intuitivos: mais frequentemente do que não, cada hora terá pelo menos um evento de instabilidade (em média quase 7 em cada 10 horas haverá pelo menos um evento).
  • Sobre “sistema estável”: isso depende do que se considera aceitável. Se um sistema estável for aquele com probabilidade muito baixa de instabilidade por hora (por exemplo, bem abaixo de 5\% ou 1\%), então a resposta é não: com \lambda=1,2 e probabilidade ~ 70\% de pelo menos um evento por hora, o sistema não é estável nesse sentido prático.
  • Observação prática adicional (como calcular uma meta): se se quisesse uma probabilidade de ao menos um evento menor que, por exemplo, 5\%, resolver-se-ia 1-e^{-\lambda_{\text{meta}}}\le 0,05, o que dá e^{-\lambda_{\text{meta}}}\ge 0,95 e \lambda_{\text{meta}}\le -\ln(0,95)\approx 0,0513 eventos por hora — isto é, seria preciso reduzir muito a taxa média para considerar o sistema “estável” por esse critério.

Resposta

(a) P(\text{pelo menos um evento em 1 h})=1-e^{-1,2}\approx 0,6988.
(b) Interpretando: há cerca de 69,9\% de chance de ocorrer pelo menos uma instabilidade em qualquer hora; isso indica que o sistema, com \lambda=1,2 eventos/hora, não é estável se por “estável” se entende ter baixa probabilidade de instabilidade por hora.

Exercícios relacionados