Em um sistema reacional, ocorrem em média 1,2 eventos de instabilidade por hora. a) Qual é a probabilidade de que, em uma hora, ocorra pelo menos um evento? b) Interprete o resultado obtido no contexto do experimento. Esse valor sugere um sistema estável?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que segue foi extraído do enunciado):
- Taxa média de eventos de instabilidade:
eventos por hora. - Pergunta (a): calcular a probabilidade de que, em uma hora, ocorra pelo menos um evento.
- Pergunta (b): interpretar esse resultado no contexto do experimento e dizer se esse valor sugere um sistema estável.
Passo 2
Qual modelo probabilístico é adequado e por quê (aula rápida e didática)?
- Quando temos eventos discretos que ocorrem ao longo do tempo de forma independente, com uma taxa média constante por unidade de tempo, o modelo padrão é o processo de Poisson. Aqui temos exatamente isso: “ocorrem em média
eventos por hora”, o que encaixa bem nas hipóteses do processo de Poisson (eventos raros, independentes, taxa constante). - A variável aleatória
que conta o número de eventos em uma hora segue a distribuição de Poisson com parâmetro igual à média no intervalo considerado. Ou seja:
- A função massa de probabilidade (PMF) da Poisson é:
onde:
-
é a média esperada de eventos no intervalo (aqui ); -
é o número inteiro não negativo de eventos; -
é o fatorial de ; -
é a base dos logaritmos naturais. - Observação prática: para calcular “pelo menos um evento” é muito comum usar o complemento:
. Isso evita somar várias probabilidades.
Passo 3
Calcular
e usar o complemento:
- Usando a PMF para
:
- Com
(peguei este valor do enunciado):
- Podemos avaliar
sabendo que . Usando valores aproximados:
então
Passo 4
Calcular a probabilidade pedida (
):
- Usando o complemento:
- Substituindo o valor aproximado:
- Arredondando para quatro casas decimais fica
, ou cerca de .
Passo 5
Interpretação didática do resultado no contexto do experimento
- O valor
significa que, em cada hora de observação, há aproximadamente de chance de ocorrer pelo menos uma instabilidade. - Em termos intuitivos: mais frequentemente do que não, cada hora terá pelo menos um evento de instabilidade (em média quase 7 em cada 10 horas haverá pelo menos um evento).
- Sobre “sistema estável”: isso depende do que se considera aceitável. Se um sistema estável for aquele com probabilidade muito baixa de instabilidade por hora (por exemplo, bem abaixo de
ou ), então a resposta é não: com e probabilidade ~ de pelo menos um evento por hora, o sistema não é estável nesse sentido prático. - Observação prática adicional (como calcular uma meta): se se quisesse uma probabilidade de ao menos um evento menor que, por exemplo,
, resolver-se-ia , o que dá e eventos por hora — isto é, seria preciso reduzir muito a taxa média para considerar o sistema “estável” por esse critério.
Resposta
(a)
(b) Interpretando: há cerca de de chance de ocorrer pelo menos uma instabilidade em qualquer hora; isso indica que o sistema, com
eventos/hora, não é estável se por “estável” se entende ter baixa probabilidade de instabilidade por hora.
(b) Interpretando: há cerca de