Um experimento teve como objetivo avaliar o armazenamento refrigerado de sementes da goiabeira quanto à viabilidade de sementes. Para tanto considerou-se o delineamento inteiramente casualizado. Os tratamentos foram:
Sementes armazenadas em temperatura ambiente (
em laboratório climatizado) por 1 ano;
Sementes armazenadas em temperatura ambiente (
em laboratório climatizado) por 2 anos;
Sementes armazenadas em temperatura de refrigeração (4-8
em geladeira) por 1 ano;
Sementes armazenadas em temperatura de refrigeração (
em geladeira) por 2 anos.
Entre as variáveis analisadas nesse experimento considerou-se a germinação de sementes (%). Abaixo é apresentada a análise de variância com alguns resultados:
FV
GL
SQ
QM
Fc
Tratamentos
Erro
236,6
11,83
Total
Pede-se:
a) Complete a tabela de análise de variância e interprete-a.
Tratamentos
Totais (Ti)
A
444
B
204
C
552
D
504
b) O que se pode afirmar sobre a precisão desse experimento?
c) Caso seja necessário, forme um grupo de contrastes ortogonais, que responda aos questionamentos a seguir e aplique o teste
, interprete os resultados, indicando o(s) melhor(es) tratamento(s).
Pergunta 1: Há diferença entre sementes armazenadas por um ano em relação àquelas armazendas por dois anos?
Pergunta 2: Para sementes que ficaram armazenadas por período de 1 ano, qual a melhor temperatura de armazenamento? Ambiente ou refrigerada?
Pergunta 3: Para sementes que ficaram armazenadas por período de 2 anos, qual a melhor temperatura de armazenamento? Ambiente ou refrigerada?
| FV | GL | SQ | QM | Fc |
| Tratamentos | ||||
| Erro | 236,6 | 11,83 | ||
| Total |
a) Complete a tabela de análise de variância e interprete-a.
| Tratamentos | Totais (Ti) |
| A | 444 |
| B | 204 |
| C | 552 |
| D | 504 |
c) Caso seja necessário, forme um grupo de contrastes ortogonais, que responda aos questionamentos a seguir e aplique o teste
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (lista clara, sem resolver ainda).
- Tratamentos (4):
-
: ambiente ano; -
: ambiente anos; -
: refrigerado ano; -
: refrigerado anos.
-
- Totais por tratamento (peguei estes valores da tabela enviada):
-
, -
, -
, -
.
-
- Informação da ANOVA enviada (peguei estes valores da tabela):
- Soma de quadrados do erro
; - Quadrado médio do erro
.
- Soma de quadrados do erro
- Delineamento: inteiramente casualizado (tratamentos com mesmo número de repetições).
- O que se pede:
a) completar a tabela de ANOVA e interpretar;
b) comentar sobre a precisão do experimento;
c) formar contrastes ortogonais que respondam às três perguntas dadas, aplicar o testee interpretar, indicando o(s) melhor(es) tratamento(s).
Observação útil que posso deduzir (será usada depois): a partir de
e
podemos obter o grau de liberdade do erro e daí o número total de observações e repetições por tratamento — isso será feito no passo seguinte.
Passo 2
Determinar
(número total de observações), número de repetições por tratamento
e médias dos tratamentos.
- Grau de liberdade do erro:
(a divisão deu exatamente , logo .) - Número total de observações:
(onde tratamentos.) - Repetições por tratamento (igual para todos, por delineamento):
Então cada tratamento tem repetições. - Total geral:
- Média geral (média de todas as observações):
- Médias por tratamento (média aritmética simples, peguei
da tabela e dividi por ):
Passo 3
Calcular a soma de quadrados dos tratamentos, quadrados médios e completar a tabela de ANOVA.
- Fórmula da soma de quadrados de tratamentos (para repetições iguais):
onde é o total do tratamento , é o nº de repetições por tratamento, é o total geral e o total de observações. - Calcular
: Soma: - Calcular
: - Logo
- Graus de liberdade:
- Quadrado médio dos tratamentos:
- O
-observado: - Soma de quadrados total (cheque):
Preenchendo a tabela de ANOVA (valores numéricos):
- Tratamentos:
, , , . - Erro:
, , . - Total:
, .
Passo 4
Interpretação da ANOVA (o que significa o
e decisão estatística).
- Teste de hipótese global:
- Valor crítico aproximado para
com graus de liberdade é . Nosso é muito maior que , portanto rejeitamos com folga (p ). Conclusão: há diferenças estatisticamente significativas entre os tratamentos. - Em linguagem prática: a forma/tempo de armazenamento (os quatro tratamentos) influenciaram fortemente a porcentagem de germinação.
Passo 5
Avaliação da precisão do experimento (resposta da parte b)).
- Estimador da variabilidade residual (desvio padrão residual):
- Coeficiente de variação (CV), útil para avaliar precisão relativa:
- Interpretação: um
de cerca de é considerado bom/alto grau de precisão para experimentos agronômicos/biológicos (valores típicos aceitáveis frequentemente são ). Além disso, o número de repetições ( ) e dão boa base para testes estatísticos. Conclusão: o experimento tem boa precisão.
Passo 6
Formação de contrastes ortogonais para responder cada pergunta (parte c)). Vou explicar didaticamente como escolhi os contrastes e mostrar os cálculos passo a passo.
- Regra prática: com 4 tratamentos podemos escolher até
contrastes ortogonais independentes. Escolhi contrastes que respondem diretamente às perguntas. - Definição dos contrastes (coeficientes
em ordem ): - Pergunta 1 (diferença entre 1 ano vs 2 anos, independente da temperatura):
Explicação: soma dos dois tratamentos de 1 ano menos soma dos dois de 2 anos . - Pergunta 2 (entre temperaturas para 1 ano: ambiente
vs refrigerado ): - Pergunta 3 (entre temperaturas para 2 anos: ambiente
vs refrigerado ):
- Pergunta 1 (diferença entre 1 ano vs 2 anos, independente da temperatura):
- Verificação rápida de ortogonalidade (produto escalar simples, já que repetições iguais):
Logo os três contrastes são mutuamente ortogonais — ótima propriedade, pois as somas de quadrados dos contrastes somarão a
.
Passo 7
Cálculo dos contrastes: fórmula e aplicação numérica (passo a passo).
- Fórmula (para tratamentos com
repetições iguais): Aqui são os coeficientes do contraste, as médias por tratamento, . - Já calculadas as médias:
Agora cada contraste:
- Contraste
.
- Soma de quadrados dos coeficientes:
- Valor linear:
- Soma de quadrados do contraste:
- Quadrado médio do contraste é
(grau de liberdade 1), e Comparando com , o contraste é altamente significativo (p ). Interpretação do sinal: significa que a média dos tratamentos de 1 ano é maior que a média dos tratamentos de 2 anos . Portanto, em média, sementes armazenadas por 1 ano germinam mais que as armazenadas 2 anos.
- Contraste
— 1 ano: ambiente vs refrigerado.
-
- Valor linear:
- Soma de quadrados:
- Estatística
: muito maior que ; portanto diferença significativa. Interpretação do sinal: significa que , ou seja . Entre sementes armazenadas 1 ano, a temperatura refrigerada ( ) é melhor que ambiente ( ).
- Contraste
— 2 anos: ambiente vs refrigerado.
-
-
Valor linear:
-
Soma de quadrados:
-
Estatística
: também altamente significativa. Interpretação do sinal:significa ou seja . Entre sementes armazenadas 2 anos, refrigerado ( ) é muito melhor que ambiente ( ). -
Checagem:
, coerente com ortogonalidade.
Passo 8
Conclusões finais práticas (qual(is) tratamento(s) é(são) melhor(es)).
- Médias por tratamento (relembrando):
- Resumo das respostas às perguntas:
- Pergunta 1: Sim — sementes armazenadas por 1 ano têm germinação média maior do que as armazenadas por 2 anos (contraste
, , p ). - Pergunta 2: Para 1 ano, a melhor temperatura é a refrigerada:
( ) é significativamente melhor que ( ), (contraste , , p ). - Pergunta 3: Para 2 anos, a melhor temperatura é a refrigerada:
( ) é muito melhor que ( ), (contraste , , p ).
- Pergunta 1: Sim — sementes armazenadas por 1 ano têm germinação média maior do que as armazenadas por 2 anos (contraste
- Melhor tratamento isolado:
(semente refrigerada por 1 ano, média de germinação) é o melhor resultado observado; em seguida vem (refrigerada por 2 anos, ). O armazenamento em ambiente por 2 anos ( ) foi o pior ( ).
Resposta
a) ANOVA completa:
Tratamentos: ,
,
,
Erro: ,
,
Total: ,
Tratamentos:
Erro:
Total:
b) Precisão do experimento: desvio residual
;
. Conclusão: boa precisão (CV baixo) e número de repetições adequado (
,
).
c) Contrastess ortogonais e resultados (teste
,
,
):
Pergunta 1 (1 ano vs 2 anos): contraste ,
,
,
. Conclusão: há diferença; 1 ano é melhor que 2 anos.
Pergunta 2 (1 ano: ambiente vs refrigerado): contraste ,
,
,
. Conclusão: refrigerado (
) é melhor que ambiente (
).
Pergunta 3 (2 anos: ambiente vs refrigerado): contraste ,
,
,
. Conclusão: refrigerado (
) é muito melhor que ambiente (
).
Melhor tratamento geral: (refrigerado, 1 ano, média
).
Pergunta 1 (1 ano vs 2 anos): contraste
Pergunta 2 (1 ano: ambiente vs refrigerado): contraste
Pergunta 3 (2 anos: ambiente vs refrigerado): contraste
Melhor tratamento geral: