Um experimento teve como objetivo avaliar o armazenamento refrigerado de sementes da goiabeira quanto à viabilidade de sementes. Para tanto considerou-se o delineamento inteiramente casualizado. Os tratamentos foram:
\mathbf{A}= Sementes armazenadas em temperatura ambiente ( 20-25^{\circ} \mathrm{C} em laboratório climatizado) por 1 ano;
\mathbf{B}= Sementes armazenadas em temperatura ambiente ( 20-25^{\circ} \mathrm{C} em laboratório climatizado) por 2 anos;
\mathbf{C}= Sementes armazenadas em temperatura de refrigeração (4-8 { }^{\circ} \mathrm{C} em geladeira) por 1 ano;
\mathbf{D}= Sementes armazenadas em temperatura de refrigeração ( 4-8^{\circ} \mathrm{C} em geladeira) por 2 anos.
Entre as variáveis analisadas nesse experimento considerou-se a germinação de sementes (%). Abaixo é apresentada a análise de variância com alguns resultados:
FV GL SQ QM Fc
Tratamentos
Erro 236,6 11,83
Total
Pede-se:
a) Complete a tabela de análise de variância e interprete-a.
Tratamentos Totais (Ti)
A 444
B 204
C 552
D 504
b) O que se pode afirmar sobre a precisão desse experimento?
c) Caso seja necessário, forme um grupo de contrastes ortogonais, que responda aos questionamentos a seguir e aplique o teste \mathbf{F}, interprete os resultados, indicando o(s) melhor(es) tratamento(s).
Pergunta 1: Há diferença entre sementes armazenadas por um ano em relação àquelas armazendas por dois anos?
Pergunta 2: Para sementes que ficaram armazenadas por período de 1 ano, qual a melhor temperatura de armazenamento? Ambiente ou refrigerada?
Pergunta 3: Para sementes que ficaram armazenadas por período de 2 anos, qual a melhor temperatura de armazenamento? Ambiente ou refrigerada?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara, sem resolver ainda).
  • Tratamentos (4):
    • \mathbf{A}: ambiente 1 ano;
    • \mathbf{B}: ambiente 2 anos;
    • \mathbf{C}: refrigerado 1 ano;
    • \mathbf{D}: refrigerado 2 anos.
  • Totais por tratamento (peguei estes valores da tabela enviada):
    • T_A=444,
    • T_B=204,
    • T_C=552,
    • T_D=504.
  • Informação da ANOVA enviada (peguei estes valores da tabela):
    • Soma de quadrados do erro \mathrm{SQ}_{\text{erro}}=236{,}6;
    • Quadrado médio do erro \mathrm{QM}_{\text{erro}}=11{,}83.
  • Delineamento: inteiramente casualizado (tratamentos com mesmo número de repetições).
  • O que se pede:
    a) completar a tabela de ANOVA e interpretar;
    b) comentar sobre a precisão do experimento;
    c) formar contrastes ortogonais que respondam às três perguntas dadas, aplicar o teste F e interpretar, indicando o(s) melhor(es) tratamento(s).
Observação útil que posso deduzir (será usada depois): a partir de \mathrm{SQ}_{\text{erro}} e \mathrm{QM}_{\text{erro}} podemos obter o grau de liberdade do erro e daí o número total de observações e repetições por tratamento — isso será feito no passo seguinte.

Passo 2

Determinar N (número total de observações), número de repetições por tratamento r e médias dos tratamentos.
  • Grau de liberdade do erro: \mathrm{df}_{\text{erro}}=\frac{\mathrm{SQ}_{\text{erro}}}{\mathrm{QM}_{\text{erro}}}=\frac{236{,}6}{11{,}83}=20.(a divisão deu exatamente 20, logo \mathrm{df}_{\text{erro}}=20.)
  • Número total de observações: N=\mathrm{df}_{\text{erro}} + t = 20 + 4 = 24.(onde t=4 tratamentos.)
  • Repetições por tratamento (igual para todos, por delineamento): r=\frac{N}{t}=\frac{24}{4}=6.Então cada tratamento tem 6 repetições.
  • Total geral: T = T_A+T_B+T_C+T_D = 444 + 204 + 552 + 504 = 1704.
  • Média geral (média de todas as observações): \bar{y}_{\cdot\cdot}=\frac{T}{N}=\frac{1704}{24}=71.
  • Médias por tratamento (média aritmética simples, peguei T_i da tabela e dividi por r=6): \bar{y}_A=\frac{444}{6}=74,\quad \bar{y}_B=\frac{204}{6}=34,\quad \bar{y}_C=\frac{552}{6}=92,\quad \bar{y}_D=\frac{504}{6}=84.

Passo 3

Calcular a soma de quadrados dos tratamentos, quadrados médios e completar a tabela de ANOVA.
  • Fórmula da soma de quadrados de tratamentos (para repetições iguais): \mathrm{SQ}_{\text{trat}}=\sum_{i=1}^{t}\frac{T_i^{2}}{r}-\frac{T^{2}}{N},onde T_i é o total do tratamento i, r é o nº de repetições por tratamento, T é o total geral e N o total de observações.
  • Calcular \sum \frac{T_i^{2}}{r}: \begin{aligned} \frac{444^{2}}{6} &=\frac{197136}{6}=32856,\\\ \frac{204^{2}}{6} &=\frac{41616}{6}=6936,\\\ \frac{552^{2}}{6} &=\frac{304704}{6}=50784,\\\ \frac{504^{2}}{6} &=\frac{254016}{6}=42336. \end{aligned}Soma: 32856+6936+50784+42336=132912.
  • Calcular \dfrac{T^{2}}{N}: \frac{1704^{2}}{24}=\frac{2903616}{24}=120984.
  • Logo \mathrm{SQ}_{\text{trat}}=132912-120984=11928.
  • Graus de liberdade: \mathrm{df}_{\text{trat}}=t-1=4-1=3,\qquad \mathrm{df}_{\text{erro}}=20,\qquad \mathrm{df}_{\text{total}}=N-1=23.
  • Quadrado médio dos tratamentos: \mathrm{QM}_{\text{trat}}=\frac{\mathrm{SQ}_{\text{trat}}}{\mathrm{df}_{\text{trat}}}=\frac{11928}{3}=3976.
  • O F-observado: F=\frac{\mathrm{QM}_{\text{trat}}}{\mathrm{QM}_{\text{erro}}}=\frac{3976}{11{,}83}\approx 336{,}0.
  • Soma de quadrados total (cheque): \mathrm{SQ}_{\text{total}}=\mathrm{SQ}_{\text{trat}}+\mathrm{SQ}_{\text{erro}}=11928+236{,}6=12164{,}6.
Preenchendo a tabela de ANOVA (valores numéricos):
  • Tratamentos: \mathrm{df}=3, \mathrm{SQ}=11928, \mathrm{QM}=3976, F\approx 336{,}0.
  • Erro: \mathrm{df}=20, \mathrm{SQ}=236{,}6, \mathrm{QM}=11{,}83.
  • Total: \mathrm{df}=23, \mathrm{SQ}=12164{,}6.

Passo 4

Interpretação da ANOVA (o que significa o F e decisão estatística).
  • Teste de hipótese global: H_0:\\ \text{todas as médias de tratamento são iguais}\quad\text{vs}\quad H_1:\\ \text{alguma média difere.}éãé
  • Valor crítico aproximado para \alpha=0{,}05 com (3,20) graus de liberdade é F_{0{,}05;3,20}\approx 3{,}10. Nosso F\approx 336{,}0 é muito maior que 3{,}10, portanto rejeitamos H_0 com folga (p <0{,}001). Conclusão: há diferenças estatisticamente significativas entre os tratamentos.
  • Em linguagem prática: a forma/tempo de armazenamento (os quatro tratamentos) influenciaram fortemente a porcentagem de germinação.

Passo 5

Avaliação da precisão do experimento (resposta da parte b)).
  • Estimador da variabilidade residual (desvio padrão residual): s_{\text{res}}=\sqrt{\mathrm{QM}_{\text{erro}}}=\sqrt{11{,}83}\approx 3{,}44.
  • Coeficiente de variação (CV), útil para avaliar precisão relativa: \mathrm{CV}(\%)=\frac{s_{\text{res}}}{\bar{y}_{\cdot\cdot}}\times 100 =\frac{3{,}44}{71}\times 100\approx 4{,}85\%.
  • Interpretação: um \mathrm{CV} de cerca de 4{,}85\% é considerado bom/alto grau de precisão para experimentos agronômicos/biológicos (valores típicos aceitáveis frequentemente são \mathrm{CV}<10\%). Além disso, o número de repetições ( r=6) e \mathrm{df}_{\text{erro}}=20 dão boa base para testes estatísticos. Conclusão: o experimento tem boa precisão.

Passo 6

Formação de contrastes ortogonais para responder cada pergunta (parte c)). Vou explicar didaticamente como escolhi os contrastes e mostrar os cálculos passo a passo.
  • Regra prática: com 4 tratamentos podemos escolher até t-1=3 contrastes ortogonais independentes. Escolhi contrastes que respondem diretamente às perguntas.
  • Definição dos contrastes (coeficientes c_i em ordem A,B,C,D):
    • Pergunta 1 (diferença entre 1 ano vs 2 anos, independente da temperatura): C_1: \quad (1,\\\ -1,\\\ 1,\\\ -1).Explicação: soma dos dois tratamentos de 1 ano (A,C) menos soma dos dois de 2 anos (B,D).
    • Pergunta 2 (entre temperaturas para 1 ano: ambiente A vs refrigerado C): C_2: \quad (1,\\\ 0,\\\ -1,\\\ 0).
    • Pergunta 3 (entre temperaturas para 2 anos: ambiente B vs refrigerado D): C_3: \quad (0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ -1).
  • Verificação rápida de ortogonalidade (produto escalar simples, já que repetições iguais): C_1\cdot C_2 = 1\cdot1 +(-1)\cdot0 +1\cdot(-1)+(-1)\cdot0 = 0,
C_1\cdot C_3 = 1\cdot0 +(-1)\cdot1 +1\cdot0 +(-1)\cdot(-1)=0,
C_2\cdot C_3 = 1\cdot0 +0\cdot1 +(-1)\cdot0 +0\cdot(-1)=0.
Logo os três contrastes são mutuamente ortogonais — ótima propriedade, pois as somas de quadrados dos contrastes somarão a \mathrm{SQ}_{\text{trat}}.

Passo 7

Cálculo dos contrastes: fórmula e aplicação numérica (passo a passo).
  • Fórmula (para tratamentos com r repetições iguais): L=\sum_{i=1}^{t} c_i \bar{y}_i, \qquad \mathrm{SQ}_{C}=\frac{r\,L^{2}}{\sum_{i=1}^{t} c_i^{2}}.Aqui c_i são os coeficientes do contraste, \bar{y}_i as médias por tratamento, r=6.
  • Já calculadas as médias:
    \bar{y}_A=74,\\ \bar{y}_B=34,\\ \bar{y}_C=92,\\ \bar{y}_D=84.
Agora cada contraste:
  1. Contraste C_1=(1,-1,1,-1).
  • Soma de quadrados dos coeficientes: \sum c_i^{2}=1+1+1+1=4.
  • Valor linear: L_1 = 1\cdot74 +(-1)\cdot34 +1\cdot92 +(-1)\cdot84 = 74-34+92-84 = 48.
  • Soma de quadrados do contraste: \mathrm{SQ}_{C_1}=\frac{6\cdot 48^{2}}{4}=\frac{6\cdot2304}{4}=3456.
  • Quadrado médio do contraste é \mathrm{SQ}_{C_1} (grau de liberdade 1), e F_{C_1}=\frac{\mathrm{SQ}_{C_1}}{\mathrm{QM}_{\text{erro}}}=\frac{3456}{11{,}83}\approx 292{,}1.Comparando com F_{0{,}05;1,20}\approx 4{,}35, o contraste é altamente significativo (p <0{,}001). Interpretação do sinal: L_1=+48>0 significa que a média dos tratamentos de 1 ano (A,C) é maior que a média dos tratamentos de 2 anos (B,D). Portanto, em média, sementes armazenadas por 1 ano germinam mais que as armazenadas 2 anos.
  1. Contraste C_2=(1,0,-1,0) — 1 ano: ambiente vs refrigerado.
  • \sum c_i^{2}=1+0+1+0=2.
  • Valor linear: L_2 = 1\cdot74 +0\cdot34 +(-1)\cdot92 +0\cdot84 = 74-92 = -18.
  • Soma de quadrados: \mathrm{SQ}_{C_2}=\frac{6\cdot (-18)^{2}}{2}=\frac{6\cdot324}{2}=972.
  • Estatística F: F_{C_2}=\frac{972}{11{,}83}\approx 82{,}2,muito maior que 4{,}35; portanto diferença significativa. Interpretação do sinal: L_2=-18<0 significa que \bar{y}_A - \bar{y}_C = -18, ou seja \bar{y}_C>\bar{y}_A. Entre sementes armazenadas 1 ano, a temperatura refrigerada ( C) é melhor que ambiente ( A).
  1. Contraste C_3=(0,1,0,-1) — 2 anos: ambiente vs refrigerado.
  • \sum c_i^{2}=0+1+0+1=2.
  • Valor linear:
    L_3 = 0\cdot74 +1\cdot34 +0\cdot92 +(-1)\cdot84 = 34-84 = -50.
  • Soma de quadrados:
    \mathrm{SQ}_{C_3}=\frac{6\cdot (-50)^{2}}{2}=\frac{6\cdot2500}{2}=7500.
  • Estatística F:
    F_{C_3}=\frac{7500}{11{,}83}\approx 633{,}9,
    também altamente significativa. Interpretação do sinal: L_3=-50<0 significa \bar{y}_B - \bar{y}_D = -50 ou seja \bar{y}_D>\bar{y}_B. Entre sementes armazenadas 2 anos, refrigerado ( D) é muito melhor que ambiente ( B).
  • Checagem: \mathrm{SQ}_{C_1}+\mathrm{SQ}_{C_2}+\mathrm{SQ}_{C_3}=3456+972+7500=11928=\mathrm{SQ}_{\text{trat}}, coerente com ortogonalidade.

Passo 8

Conclusões finais práticas (qual(is) tratamento(s) é(são) melhor(es)).
  • Médias por tratamento (relembrando): \bar{y}_A=74,\quad \bar{y}_B=34,\quad \bar{y}_C=92,\quad \bar{y}_D=84.
  • Resumo das respostas às perguntas:
    • Pergunta 1: Sim — sementes armazenadas por 1 ano têm germinação média maior do que as armazenadas por 2 anos (contraste C_1, F\approx 292{,}1, p <0{,}001).
    • Pergunta 2: Para 1 ano, a melhor temperatura é a refrigerada: C ( \bar{y}_C=92) é significativamente melhor que A ( \bar{y}_A=74), (contraste C_2, F\approx 82{,}2, p <0{,}001).
    • Pergunta 3: Para 2 anos, a melhor temperatura é a refrigerada: D ( \bar{y}_D=84) é muito melhor que B ( \bar{y}_B=34), (contraste C_3, F\approx 633{,}9, p <0{,}001).
  • Melhor tratamento isolado: \mathbf{C} (semente refrigerada por 1 ano, média 92\% de germinação) é o melhor resultado observado; em seguida vem \mathbf{D} (refrigerada por 2 anos, 84\%). O armazenamento em ambiente por 2 anos ( \mathbf{B}) foi o pior ( 34\%).

Resposta

a) ANOVA completa:
Tratamentos: \mathrm{df}=3, \mathrm{SQ}=11928, \mathrm{QM}=3976, F\approx 336{,}0
Erro: \mathrm{df}=20, \mathrm{SQ}=236{,}6, \mathrm{QM}=11{,}83
Total: \mathrm{df}=23, \mathrm{SQ}=12164{,}6
b) Precisão do experimento: desvio residual s_{\text{res}}=\sqrt{11{,}83}\approx 3{,}44; \mathrm{CV}\approx 4{,}85\%. Conclusão: boa precisão (CV baixo) e número de repetições adequado ( r=6, \mathrm{df}_{\text{erro}}=20).
c) Contrastess ortogonais e resultados (teste F, \mathrm{df}=1,20, F_{0{,}05}\approx 4{,}35):
Pergunta 1 (1 ano vs 2 anos): contraste C_1=(1,-1,1,-1), L_1=48, \mathrm{SQ}_{C_1}=3456, F\approx 292{,}1. Conclusão: há diferença; 1 ano é melhor que 2 anos.
Pergunta 2 (1 ano: ambiente vs refrigerado): contraste C_2=(1,0,-1,0), L_2=-18, \mathrm{SQ}_{C_2}=972, F\approx 82{,}2. Conclusão: refrigerado ( C) é melhor que ambiente ( A).
Pergunta 3 (2 anos: ambiente vs refrigerado): contraste C_3=(0,1,0,-1), L_3=-50, \mathrm{SQ}_{C_3}=7500, F\approx 633{,}9. Conclusão: refrigerado ( D) é muito melhor que ambiente ( B).
Melhor tratamento geral: \mathbf{C} (refrigerado, 1 ano, média 92\%).

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