Um experimento foi conduzido para avaliar o efeito de dois tipos de telas de sombreamento e duas alturas do nível do solo na cultura da alface sob condições de temperatura e luminosidade elevadas. Os tratamentos utilizados foram:
\mathbf{A}=) Tela branca a 30 cm do solo; \mathbf{B}=) Tela branca a 50 cm do solo; \mathbf{C}=) Tela preta a 30 cm do solo; \mathbf{D}=) Tela preta a 50 cm do solo; \quad \mathbf{E}=) Testemunha (Pleno sol). Avaliou-se a altura de plantas (em cm) após o período experimental, cujo resumo experimental e ANOVA são apresentados abaixo:
TRATAMENTOS
A
B
C
D
E
MÉDIAS
25,10
26,75
25,00
26,95
22,75
Table 1: Anova para altura de plantas (em cm).
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FV
GL
SQ
QM
Fc
TRATAMENTOS
4
45,83
11,46
45,84
ERRO
15
3,81
0,25
TOTAL
19
49,63
Pede-se:
a) Interprete a análise de variância;
b) Se necessário for, aplique o teste F aos seguintes contrastes de médias, complete a tabela abaixo e responda os questionamentos:
b.1) Uma pessoa que fez a análise estatística desse experimento afirmou que não houve efeito do sombreamento, você concorda? Justifique.
b.2) Uma pessoa que fez a análise estatística desse experimento afirmou que houve diferença significativa entre as cores das telas, você concorda? Justifique.
b.3) Uma pessoa que fez a análise estatística desse experimento afirmou que não houve diferença significativa quanto à altura de instalação das telas, você concorda? Justifique.
b.4) Qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s)?
c) Se o teste de Scheffé fosse aplicado ao contraste 3 (Y3), a resposta seria a mesma obtida no item anterior? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá 5 tratamentos com as médias de altura (em cm):
e a razão F dos tratamentos (já dada) é F=\dfrac{11{,}46}{0{,}25}=45{,}84.
As perguntas pedem:
a) interpretar a ANOVA (se há efeito de tratamentos);
b) aplicar, se necessário, testes F aos 4 contrastes dados (\mathbf{Y1},\mathbf{Y2},\mathbf{Y3},\mathbf{Y4}), preencher tabela e responder b.1 a b.4;
c) verificar se o teste de Scheffé aplicado ao contraste 3 (\mathbf{Y3}) daria a mesma conclusão.
Observação útil (necessária para os contrastes): o experimento é balanceado com n=20 observações totais (GL total =19), k=5 tratamentos, logo o nº de repetições por tratamento é r=\dfrac{20}{5}=4. Usarei r=4.
Passo 2
Interpretação da ANOVA (explicação didática do teste global):
Hipótese nula da ANOVA: todas as médias de tratamento são iguais:
H_0:\\ \mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D=\mu_E.
Estatística usada: F=\dfrac{\text{QM}_{\text{trat}}}{\text{QM}_{\text{erro}}}. Aqui \text{QM}_{\text{trat}}=11{,}46 e \text{QM}_{\text{erro}}=0{,}25, então F_{\text{obs}}=45{,}84.
Regra prática: comparar F_{\text{obs}} com o valor crítico F_{0{,}05;(4,15)}. Pela tabela F_{0{,}05;4,15}\approx 3{,}06. Como 45{,}84 \gg 3{,}06, rejeitamos H_0.
Interpretação: há evidência estatística forte (p muito pequena) de que pelo menos uma média difere; ou seja, existe efeito do tratamento sobre a altura das plantas.
Passo 3
Método para testar contrastes (aula curta e fórmulas):
Um contraste é uma combinação linear \displaystyle C=\sum_{i=1}^{k} c_i \overline{m}_i onde \sum c_i =0.
Estimador do contraste é \hat C obtido usando as médias amostrais.
Variância do estimador (no caso balanceado, com r repetições por tratamento) é
Como \sigma^2 é desconhecida usamos \text{MS}_{\text{erro}} como estimador: \operatorname{Var}(\hat C)\approx \text{MS}_{\text{erro}}\cdot\sum \dfrac{c_i^2}{r}.
Comparação: F_{Y3}=21{,}78 > 4{,}54\Rightarrow significativo ao nível 5\%.
Interpretação: para telas brancas, a altura de instalação (30 vs 50 cm) afeta significativamente a altura das plantas (a 50 cm produz maior altura: \overline{m}_B>\overline{m}_A).
Passo 7
Cálculo do contraste \mathbf{Y4}=\overline{m}_C-\overline{m}_D (diferença de altura de instalação para tela preta: 30 cm vs 50 cm).
\hat C_{4}=25{,}00-26{,}95=-1{,}95.
Coeficientes c_i=[0,0,1,-1,0]. Soma dos quadrados: \sum c_i^2=1+1=2.
Comparação: F_{Y4}=30{,}42 > 4{,}54\Rightarrow significativo ao nível 5\%.
Interpretação: para telas pretas, a altura de instalação também afeta significativamente a altura das plantas (50 cm produz maior altura: \overline{m}_D>\overline{m}_C).
Passo 8
Tabela resumo dos contrastes (GL, SS, QM, F) — uso dos valores calculados e do erro já dado:
(Observação: pequenas diferenças de arredondamento podem existir; usei quatro casas significativas nas contas intermediárias.)
Passo 9
Respostas aos itens b.1 a b.4 (justificadas com base nos contrastes):
b.1) “Não houve efeito do sombreamento” — não concordo.
Justificativa: o contraste \mathbf{Y1} (médias A–D contra E) foi altamente significativo (F_{Y1}=131{,}07, p\ll0{,}05). Logo, o sombreamento (qualquer tela) altera significativamente a altura em relação ao pleno sol.
b.2) “Houve diferença significativa entre as cores das telas” — não concordo.
Justificativa: o contraste das cores \mathbf{Y2} teve F_{Y2}=0{,}04 (não significativo). Não há evidência de diferença entre telas brancas e pretas em termos de altura.
b.3) “Não houve diferença significativa quanto à altura de instalação das telas” — não concordo.
Justificativa: tanto \mathbf{Y3} (branca 30 vs 50 cm) quanto \mathbf{Y4} (preta 30 vs 50 cm) foram significativos (F_{Y3}=21{,}78 e F_{Y4}=30{,}42), indicando efeito da altura de instalação: 50 cm resultou em plantas mais altas que 30 cm.
b.4) Melhores tratamentos:
As maiores médias observadas são \overline{m}_D=26{,}95 (preta, 50 cm) e \overline{m}_B=26{,}75 (branca, 50 cm). Ambos, em 50 cm, produziram maiores alturas do que os tratamentos a 30 cm e que a testemunha. Teste direto entre B e D daria diferença pequena (0{,}20) e, se testado, não seria significativa (contrast m_B-m_D produziria F pequeno). Portanto, os melhores tratamentos são os instalados a 50 cm, isto é B e D (praticamente equivalentes).
Passo 10
Resposta ao item c) (Scheffé para \mathbf{Y3}) — explicação e cálculo:
O teste de Scheffé para contrastes é mais conservador; para qualquer contraste com GL do numerador igual a 1, a regra de rejeição é:
F_{\text{obs}} > (k-1)\,F_{\,\alpha;\,k-1,\,n-k}.
Aqui k=5 (portanto k-1=4), n=20 e n-k=15. O valor F_{0{,}05;4,15}\approx 3{,}06. Assim a barreira de Scheffé é
Nosso F_{Y3}=21{,}78 é maior que 12{,}24. Portanto, mesmo com o teste de Scheffé, o contraste \mathbf{Y3} permanece significativo.
Conclusão: sim — a resposta seria a mesma: \mathbf{Y3} significante também pelo critério de Scheffé.
Resposta
a) A ANOVA global indica efeito significativo dos tratamentos sobre a altura (F=45{,}84, p\ll0{,}05); rejeita-se H_0.
b.1) Não concordo — há efeito do sombreamento (\mathbf{Y1}: F=131{,}07, significativo).
b.2) Não concordo — não há diferença significativa entre cores (\mathbf{Y2}: F=0{,}04, não significativo).
b.3) Não concordo — há diferença significativa quanto à altura de instalação (\mathbf{Y3}: F=21{,}78 e \mathbf{Y4}: F=30{,}42, ambos significativos).
b.4) Melhores tratamentos: B (tela branca a 50 cm) e D (tela preta a 50 cm) — ambos com maiores médias e estatisticamente equivalentes entre si.
c) Sim. Aplicando o critério de Scheffé ao contraste \mathbf{Y3} obter-se-ia também significância (pois F_{Y3}=21{,}78 > critério de Scheffé \approx 12{,}24).