Um experimento foi conduzido para avaliar o efeito de dois tipos de telas de sombreamento e duas alturas do nível do solo na cultura da alface sob condições de temperatura e luminosidade elevadas. Os tratamentos utilizados foram:
\mathbf{A}=) Tela branca a 30 cm do solo; \mathbf{B}=) Tela branca a 50 cm do solo; \mathbf{C}=) Tela preta a 30 cm do solo; \mathbf{D}=) Tela preta a 50 cm do solo; \quad \mathbf{E}=) Testemunha (Pleno sol). Avaliou-se a altura de plantas (em cm) após o período experimental, cujo resumo experimental e ANOVA são apresentados abaixo:
TRATAMENTOS A B C D E
MÉDIAS 25,10 26,75 25,00 26,95 22,75
Table 1: Anova para altura de plantas (em cm).
\captionsetup{labelformat=empty}
FV GL SQ QM Fc
TRATAMENTOS 4 45,83 11,46 45,84
ERRO 15 3,81 0,25
TOTAL 19 49,63
Pede-se:
a) Interprete a análise de variância;
b) Se necessário for, aplique o teste F aos seguintes contrastes de médias, complete a tabela abaixo e responda os questionamentos:
FV GL SQ QM Fc
\mathbf{Y 1}=\mathrm{m}{\mathrm{A}}+\mathrm{m}{\mathrm{B}}+\mathrm{m}{\mathrm{C}}+\mathrm{m}{\mathrm{D}}-4 \mathrm{m}_{\mathrm{E}}\
\mathbf{Y 2}=\mathrm{m}{\mathrm{A}}+\mathrm{m}{\mathrm{B}}-\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}\
\mathbf{Y 3}=\mathrm{m}{\mathrm{A}}-\mathrm{m}{\mathrm{B}}\
\mathbf{Y 4}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}\
ERRO 15 3,81 0,25
b.1) Uma pessoa que fez a análise estatística desse experimento afirmou que não houve efeito do sombreamento, você concorda? Justifique.
b.2) Uma pessoa que fez a análise estatística desse experimento afirmou que houve diferença significativa entre as cores das telas, você concorda? Justifique.
b.3) Uma pessoa que fez a análise estatística desse experimento afirmou que não houve diferença significativa quanto à altura de instalação das telas, você concorda? Justifique.
b.4) Qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s)?
c) Se o teste de Scheffé fosse aplicado ao contraste 3 (Y3), a resposta seria a mesma obtida no item anterior? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá 5 tratamentos com as médias de altura (em cm):
  • A =Tela branca a 30 cm: \overline{m}_A=25{,}10
  • B =Tela branca a 50 cm: \overline{m}_B=26{,}75
  • C =Tela preta a 30 cm: \overline{m}_C=25{,}00
  • D =Tela preta a 50 cm: \overline{m}_D=26{,}95
  • E =Testemunha (pleno sol): \overline{m}_E=22{,}75
A ANOVA fornecida é:
\begin{array}{lccc} \text{Fonte} & \text{GL} & \text{SQ} & \text{QM} \\\ \hline \text{Tratamentos} & 4 & 45{,}83 & 11{,}46 \\\ \text{Erro} & 15 & 3{,}81 & 0{,}25 \\\ \text{Total} & 19 & 49{,}63 & \end{array}
e a razão F dos tratamentos (já dada) é F=\dfrac{11{,}46}{0{,}25}=45{,}84.
As perguntas pedem:
a) interpretar a ANOVA (se há efeito de tratamentos);
b) aplicar, se necessário, testes F aos 4 contrastes dados ( \mathbf{Y1},\mathbf{Y2},\mathbf{Y3},\mathbf{Y4}), preencher tabela e responder b.1 a b.4;
c) verificar se o teste de Scheffé aplicado ao contraste 3 ( \mathbf{Y3}) daria a mesma conclusão.
Observação útil (necessária para os contrastes): o experimento é balanceado com n=20 observações totais (GL total =19), k=5 tratamentos, logo o nº de repetições por tratamento é r=\dfrac{20}{5}=4. Usarei r=4.

Passo 2

Interpretação da ANOVA (explicação didática do teste global):
  • Hipótese nula da ANOVA: todas as médias de tratamento são iguais:
H_0:\\ \mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D=\mu_E.
  • Estatística usada: F=\dfrac{\text{QM}_{\text{trat}}}{\text{QM}_{\text{erro}}}. Aqui \text{QM}_{\text{trat}}=11{,}46 e \text{QM}_{\text{erro}}=0{,}25, então F_{\text{obs}}=45{,}84.
  • Regra prática: comparar F_{\text{obs}} com o valor crítico F_{0{,}05;(4,15)}. Pela tabela F_{0{,}05;4,15}\approx 3{,}06. Como 45{,}84 \gg 3{,}06, rejeitamos H_0.
  • Interpretação: há evidência estatística forte (p muito pequena) de que pelo menos uma média difere; ou seja, existe efeito do tratamento sobre a altura das plantas.

Passo 3

Método para testar contrastes (aula curta e fórmulas):
  • Um contraste é uma combinação linear \displaystyle C=\sum_{i=1}^{k} c_i \overline{m}_i onde \sum c_i =0.
  • Estimador do contraste é \hat C obtido usando as médias amostrais.
  • Variância do estimador (no caso balanceado, com r repetições por tratamento) é
\operatorname{Var}(\hat C)=\sigma^2\sum_{i=1}^k \frac{c_i^2}{r}.
Como \sigma^2 é desconhecida usamos \text{MS}_{\text{erro}} como estimador: \operatorname{Var}(\hat C)\approx \text{MS}_{\text{erro}}\cdot\sum \dfrac{c_i^2}{r}.
  • Estatística t para contraste:
t=\frac{\hat C}{\sqrt{\text{MS}_{\text{erro}}\cdot\sum c_i^2 / r}}\quad\text{com GL}=\text{GL}_{\text{erro}}.
  • Equivalente em F (1 grau de liberdade no numerador) é F=t^2. Também podemos computar a soma de quadrados do contraste:
\text{SS}_C=\frac{\hat C^{\,2}}{\sum c_i^2 / r}, \qquad \text{QM}_C=\text{SS}_C \quad(\text{GL}=1), \qquad F=\frac{\text{QM}_C}{\text{MS}_{\text{erro}}}.
  • Usarei \text{MS}_{\text{erro}}=0{,}25, r=4. Para cada contraste vou:
    1. calcular \hat C a partir das médias;
    2. calcular \sum c_i^2;
    3. calcular \text{SS}_C, \text{QM}_C, F;
    4. comparar com F_{0{,}05;(1,15)}\approx 4{,}54 (teste ao nível \alpha=0{,}05).

Passo 4

Cálculo do contraste \mathbf{Y1}=\overline{m}_A+\overline{m}_B+\overline{m}_C+\overline{m}_D-4\overline{m}_E.
  1. Soma das médias A–D:
\overline{m}_A+\overline{m}_B+\overline{m}_C+\overline{m}_D=25{,}10+26{,}75+25{,}00+26{,}95=103{,}80.
  1. \hat C_{1}=103{,}80-4\cdot22{,}75=103{,}80-91{,}00=12{,}80.
  2. Coeficientes c_i=[1,1,1,1,-4]. Soma dos quadrados:
\sum c_i^2=1+1+1+1+16=20.
  1. Soma de quadrados do contraste:
\text{SS}_{Y1}=\frac{\hat C_1^{\,2}}{\sum c_i^2 / r}=\frac{12{,}8^{2}}{20/4} =\frac{163{,}84}{5}=32{,}768.
  1. \text{QM}_{Y1}=\text{SS}_{Y1}=32{,}768 (GL =1). Razão F:
F_{Y1}=\frac{32{,}768}{0{,}25}=131{,}07.
  1. Comparação: F_{Y1}=131{,}07 \gg 4{,}54\Rightarrow contraste altamente significativo ( p\ll0{,}05).
Interpretação: a média dos tratamentos sombreados (A–D) difere significativamente da testemunha (E) — ou seja, o sombreamento tem efeito sobre altura.

Passo 5

Cálculo do contraste \mathbf{Y2}=\overline{m}_A+\overline{m}_B-\overline{m}_C-\overline{m}_D (efeito da cor: branco vs preto).
  1. \hat C_{2}=25{,}10+26{,}75-25{,}00-26{,}95=51{,}85-51{,}95=-0{,}10.
  2. Coeficientes c_i=[1,1,-1,-1,0]. Soma dos quadrados: \sum c_i^2=1+1+1+1+0=4.
  3. \text{SS}_{Y2}=\dfrac{(-0{,}1)^{2}}{4/4}=\dfrac{0{,}01}{1}=0{,}01.
  4. \text{QM}_{Y2}=0{,}01. Razão F:
F_{Y2}=\frac{0{,}01}{0{,}25}=0{,}04.
  1. Comparação: F_{Y2}=0{,}04 < 4{,}54\Rightarrow não significativo ao nível de 5\%.
Interpretação: não há evidência de diferença entre as cores (branca vs preta).

Passo 6

Cálculo do contraste \mathbf{Y3}=\overline{m}_A-\overline{m}_B (diferença de altura de instalação para tela branca: 30 cm vs 50 cm).
  1. \hat C_{3}=25{,}10-26{,}75=-1{,}65.
  2. Coeficientes c_i=[1,-1,0,0,0]. Soma dos quadrados: \sum c_i^2=1+1=2.
  3. \text{SS}_{Y3}=\dfrac{(-1{,}65)^{2}}{2/4}=\dfrac{2{,}7225}{0{,}5}=5{,}445.
  4. \text{QM}_{Y3}=5{,}445. Razão F:
F_{Y3}=\frac{5{,}445}{0{,}25}=21{,}78.
  1. Comparação: F_{Y3}=21{,}78 > 4{,}54\Rightarrow significativo ao nível 5\%.
Interpretação: para telas brancas, a altura de instalação (30 vs 50 cm) afeta significativamente a altura das plantas (a 50 cm produz maior altura: \overline{m}_B>\overline{m}_A).

Passo 7

Cálculo do contraste \mathbf{Y4}=\overline{m}_C-\overline{m}_D (diferença de altura de instalação para tela preta: 30 cm vs 50 cm).
  1. \hat C_{4}=25{,}00-26{,}95=-1{,}95.
  2. Coeficientes c_i=[0,0,1,-1,0]. Soma dos quadrados: \sum c_i^2=1+1=2.
  3. \text{SS}_{Y4}=\dfrac{(-1{,}95)^{2}}{2/4}=\dfrac{3{,}8025}{0{,}5}=7{,}605.
  4. \text{QM}_{Y4}=7{,}605. Razão F:
F_{Y4}=\frac{7{,}605}{0{,}25}=30{,}42.
  1. Comparação: F_{Y4}=30{,}42 > 4{,}54\Rightarrow significativo ao nível 5\%.
Interpretação: para telas pretas, a altura de instalação também afeta significativamente a altura das plantas (50 cm produz maior altura: \overline{m}_D>\overline{m}_C).

Passo 8

Tabela resumo dos contrastes (GL, SS, QM, F) — uso dos valores calculados e do erro já dado:
\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{FV} & \text{GL} & \text{SQ} & \text{QM} & F \\\ \hline \mathbf{Y1} & 1 & 32{,}768 & 32{,}768 & 131{,}07 \\\ \hline \mathbf{Y2} & 1 & 0{,}010 & 0{,}010 & 0{,}04 \\\ \hline \mathbf{Y3} & 1 & 5{,}445 & 5{,}445 & 21{,}78 \\\ \hline \mathbf{Y4} & 1 & 7{,}605 & 7{,}605 & 30{,}42 \\\ \hline \text{Erro} & 15 & 3{,}810 & 0{,}254 & \\\ \hline \end{array}
(Observação: pequenas diferenças de arredondamento podem existir; usei quatro casas significativas nas contas intermediárias.)

Passo 9

Respostas aos itens b.1 a b.4 (justificadas com base nos contrastes):
b.1) “Não houve efeito do sombreamento” — não concordo.
Justificativa: o contraste \mathbf{Y1} (médias A–D contra E) foi altamente significativo ( F_{Y1}=131{,}07, p\ll0{,}05). Logo, o sombreamento (qualquer tela) altera significativamente a altura em relação ao pleno sol.
b.2) “Houve diferença significativa entre as cores das telas” — não concordo.
Justificativa: o contraste das cores \mathbf{Y2} teve F_{Y2}=0{,}04 (não significativo). Não há evidência de diferença entre telas brancas e pretas em termos de altura.
b.3) “Não houve diferença significativa quanto à altura de instalação das telas” — não concordo.
Justificativa: tanto \mathbf{Y3} (branca 30 vs 50 cm) quanto \mathbf{Y4} (preta 30 vs 50 cm) foram significativos ( F_{Y3}=21{,}78 e F_{Y4}=30{,}42), indicando efeito da altura de instalação: 50 cm resultou em plantas mais altas que 30 cm.
b.4) Melhores tratamentos:
As maiores médias observadas são \overline{m}_D=26{,}95 (preta, 50 cm) e \overline{m}_B=26{,}75 (branca, 50 cm). Ambos, em 50 cm, produziram maiores alturas do que os tratamentos a 30 cm e que a testemunha. Teste direto entre B e D daria diferença pequena ( 0{,}20) e, se testado, não seria significativa (contrast m_B-m_D produziria F pequeno). Portanto, os melhores tratamentos são os instalados a 50 cm, isto é B e D (praticamente equivalentes).

Passo 10

Resposta ao item c) (Scheffé para \mathbf{Y3}) — explicação e cálculo:
  • O teste de Scheffé para contrastes é mais conservador; para qualquer contraste com GL do numerador igual a 1, a regra de rejeição é:
F_{\text{obs}} > (k-1)\,F_{\,\alpha;\,k-1,\,n-k}.
  • Aqui k=5 (portanto k-1=4), n=20 e n-k=15. O valor F_{0{,}05;4,15}\approx 3{,}06. Assim a barreira de Scheffé é
\text{crit}_{\text{Scheffé}}=(k-1)F_{0{,}05;4,15}=4\cdot 3{,}06\approx 12{,}24.é
  • Nosso F_{Y3}=21{,}78 é maior que 12{,}24. Portanto, mesmo com o teste de Scheffé, o contraste \mathbf{Y3} permanece significativo.
  • Conclusão: sim — a resposta seria a mesma: \mathbf{Y3} significante também pelo critério de Scheffé.

Resposta

a) A ANOVA global indica efeito significativo dos tratamentos sobre a altura ( F=45{,}84, p\ll0{,}05); rejeita-se H_0.
b.1) Não concordo — há efeito do sombreamento ( \mathbf{Y1}: F=131{,}07, significativo).
b.2) Não concordo — não há diferença significativa entre cores ( \mathbf{Y2}: F=0{,}04, não significativo).
b.3) Não concordo — há diferença significativa quanto à altura de instalação ( \mathbf{Y3}: F=21{,}78 e \mathbf{Y4}: F=30{,}42, ambos significativos).
b.4) Melhores tratamentos: B (tela branca a 50 cm) e D (tela preta a 50 cm) — ambos com maiores médias e estatisticamente equivalentes entre si.
c) Sim. Aplicando o critério de Scheffé ao contraste \mathbf{Y3} obter-se-ia também significância (pois F_{Y3}=21{,}78 > critério de Scheffé \approx 12{,}24).

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