Explain, using Theorems 4, 5, 7, and 9, why the function is continuous at every number in its domain. State the domain.
F(x)=\sin ^{-1}\left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
F(x)=\sin^{-1}\bigl(x^{2}-1\bigr)
é contínua em todo ponto de seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9. Vamos precisar da continuidade de polinômios, da operação diferença, da composição de funções contínuas e da continuidade de \sin^{-1}.

Passo 2

Definimos g(x)=x^{2}. Pelo Teorema 4, todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}, logo g é contínua em todo x. Seja agora
h(x)=g(x)-1 = x^{2}-1.
Pelo Teorema 5, a diferença de funções contínuas é contínua, então h é contínua em todo x.

Passo 3

A função \sin^{-1} é o inverso de \sin restrito a \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], onde \sin é contínua e injetora. Pelo Teorema 9, (\sin)^{-1}=\sin^{-1} é contínua em
\sin\bigl([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\bigr)=[-1,1].

Passo 4

Agora F é a composição
F = \sin^{-1}\circ h.
Como h é contínua em todo x e \sin^{-1} é contínua em cada ponto de [-1,1], o Teorema 7 garante que F é contínua em todo x tal que h(x)\in[-1,1].

Passo 5

Determinar o domínio vem de impor
-1 \le x^{2}-1 \le 1,
isto é,
0 \le x^{2}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}.
Portanto o domínio de F é \bigl[-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr].

Resposta

O domínio de F é \bigl[-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr], e F é contínua em todo ponto desse intervalo.

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