Explain, using Theorems 4, 5, 7, and 9, why the function is continuous at every number in its domain. State the domain.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em todo ponto de seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9. Vamos precisar da continuidade de polinômios, da operação diferença, da composição de funções contínuas e da continuidade de
.
Passo 2
Definimos
. Pelo Teorema 4, todo polinômio é contínuo em
, logo
é contínua em todo
. Seja agora
Pelo Teorema 5, a diferença de funções contínuas é contínua, então
é contínua em todo
.
Passo 3
A função
é o inverso de
restrito a
, onde
é contínua e injetora. Pelo Teorema 9,
é contínua em
Passo 4
Agora
é a composição
Como
é contínua em todo
e
é contínua em cada ponto de
, o Teorema 7 garante que
é contínua em todo
tal que
.
Passo 5
Determinar o domínio vem de impor
isto é,
Portanto o domínio de
é
.
Resposta
O domínio de
é
, e
é contínua em todo ponto desse intervalo.