Explain, using Theorems 4, 5, 7, and 9, why the function is continuous at every number in its domain. State the domain.
G(t)=\ln \left(t^{4}-1\right)

Passo 1

O enunciado define a função
G(t)=\ln\bigl(t^{4}-1\bigr)
e pede para determinar o domínio e mostrar que G é contínua em todo ponto do domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, cujos conteúdos são: polinômios são contínuos (Teo. 4), soma e diferença de funções contínuas são contínuas (Teo. 5), composição de funções contínuas é contínua (Teo. 7) e a função logaritmo natural é contínua em (0,\infty) (Teo. 9).

Passo 2

Pelo Teorema 4, a função
f(t)=t^{4}
é contínua para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Pelo Teorema 5, f(t)-1=t^{4}-1 também é contínua em toda parte, pois é a diferença de duas funções contínuas.

Passo 4

Pelo Teorema 9, a função \ln(x) é contínua para todo x>0.

Passo 5

Pelo Teorema 7, a composição
G(t)=\ln\bigl(f(t)-1\bigr)
é contínua em qualquer t que satisfaça f(t)-1>0.

Passo 6

A condição t^{4}-1>0 equivale a t^{4}>1, isto é, \lvert t\rvert>1. Logo o domínio de G é
(-\infty,-1)\,\cup\,(1,\infty).

Resposta

O domínio de G é (-\infty,-1)\cup(1,\infty), e G é contínua em todo esse conjunto.

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