Explique o que acontece quando um vetor é descrito em um sistema móvel de referência girante e efetua-se sua derivada no domínio do tempo.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique o que ocorre quando um vetor está escrito num sistema de referência móvel que gira e eu tomo a derivada temporal desse vetor.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Existe um vetor \mathbf{v}(t) descrito por componentes em uma base ortonormal móvel \{\mathbf{e}_1(t),\mathbf{e}_2(t),\mathbf{e}_3(t)\} que gira no tempo.
  • A base gira com uma velocidade angular instantânea \boldsymbol{\omega}(t) (um vetor que representa eixo e taxa de rotação).
  • A pergunta é sobre a relação entre a derivada temporal do vetor vista por um observador inercial (ou fixo no espaço) e a derivada vista por um observador que usa a base girante.

Passo 2

Como primeira coisa, escrevemos o vetor na base móvel. Quero que você visualize que a base muda no tempo, então tanto as componentes quanto os vetores base podem depender de t. Escrevo
\mathbf{v}(t)=\sum_{i=1}^{3} v_i(t)\,\mathbf{e}_i(t).
Aqui \,v_i(t)\, são as componentes do vetor na base móvel e \mathbf{e}_i(t) são os vetores unitários da base que giram. Esta é a forma que você encontrará em prova: sempre deixe explícito que tanto v_i quanto \mathbf{e}_i dependem de t.

Passo 3

Agora derivamos no tempo usando regra do produto (porque v_i e \mathbf{e}_i dependem de t):
\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\sum_{i=1}^{3} \dot v_i\,\mathbf{e}_i + \sum_{i=1}^{3} v_i\,\dot{\mathbf{e}}_i.
Expliquei cada termo: o primeiro conjunto \dot v_i\,\mathbf{e}_i é a derivada das componentes mantendo a base “congelada”; o segundo reúne as variações da própria base. Para organizar, definimos a derivada tomada “no referencial girante” (derivada relativa) como
\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}:=\sum_{i=1}^{3} \dot v_i\,\mathbf{e}_i.
Assim a equação fica
\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\sum_{i=1}^{3} v_i\,\dot{\mathbf{e}}_i.

Passo 4

Precisamos escrever \dot{\mathbf{e}}_i em termos da velocidade angular \boldsymbol{\omega}. Intuição: um vetor unitário que gira tem derivada perpendicular a si mesmo, e a rotação infinitesimal pode ser representada por um vetor de pequena rotação d\boldsymbol{\theta} tal que
\mathbf{e}_i(t+dt)\approx \mathbf{e}_i(t)+d\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{e}_i(t).
Dividindo por dt e tomando limite, obtemos
\dot{\mathbf{e}}_i=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{e}_i.
Aqui \boldsymbol{\omega} é o vetor velocidade angular cuja direção é o eixo instantâneo de rotação e cujo módulo é a taxa angular. Esta é uma forma padrão e básica: em qualquer rotação infinitesimal, a mudança de um vetor é o produto vetorial do vetor de rotação pela própria base.

Passo 5

Substituindo \dot{\mathbf{e}}_i=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{e}_i na expressão da derivada, e usando linearidade do produto vetorial, obtemos a relação fundamental (teorema de transporte):
\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}.
Explanação prática: a derivada total (vista por um observador fixo no espaço) é a soma da variação das componentes vistas no referencial girante mais um termo extra \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v} que surge porque a base gira. Esse termo diz como a rotação da base “arrasta” o vetor no espaço.

Passo 6

Interpretações e exemplos simples para fixar a intuição:
  • Se as componentes v_i são constantes no referencial girante ( \dot v_i=0), então \left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}=\mathbf{0} e
\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}.
Isto corresponde ao caso de um vetor fixo no corpo em rotação: no espaço ele descreve um movimento por rotação com velocidade \boldsymbol{\omega}.
  • Exemplo físico clássico: se \mathbf{r} é posição de um ponto fixo no corpo girante, a velocidade no referencial inercial é \mathbf{v}_{\text{inércia}}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}é. Isso gera movimento circular.

Passo 7

Agora mostro a derivada segunda (útil para acelerações). Diferencio a identidade do Passo 5 no tempo (nota: \boldsymbol{\omega} pode depender de t):
\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right) =\frac{d}{dt}\left[\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}\right].
Aplicando a mesma regra de derivação e identificando a derivada rotante:
\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}=\left(\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}\right)_{\text{rot}}+\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{v} +\boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\boldsymbol{\omega}\times\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}\bigr).
Reorganizando o termo que contém \boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}} e observando que aparece outro igual se fôssemos expandir mais cuidadosamente (ver a dedução abaixo), a forma usual (e bem conhecida) é
\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}=\left(\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}\right)_{\text{rot}} +2\,\boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}} +\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{v} +\boldsymbol{\omega}\times\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}\bigr).
Se quiser, pense que ao derivar \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v} surge \dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}\times\frac{d\mathbf{v}}{dt}, e para \frac{d\mathbf{v}}{dt} dentro aparece novamente \left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}, levando ao fator 2 no termo misto.

Passo 8

Significado físico dos termos da fórmula da aceleração (quando \mathbf{v} é posição \mathbf{r} ou velocidade relativa):
  • \left(\dfrac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}\right)_{\text{rot}}: aceleração vista por um observador fixo na base girante (variação das componentes no corpo).
  • 2\,\boldsymbol{\omega}\times\left(\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}: termo de Coriolis (aparece quando há velocidade relativa no referencial girante).
  • \dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{v}: termo de Euler (devido à variação temporal da velocidade angular).
  • \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}): termo centrífugo (efeito de força aparente apontando “para fora”).
Em dinâmica, para aplicar a segunda lei de Newton em um referencial girante é comum levar o lado direito de m\mathbf{a}_{\text{inércia}}=\mathbf{F}é e, rearranjando, interpretar os termos extras como “forças fictícias” atuando no referencial girante: força de Coriolis, centrífuga e de Euler.

Passo 9

Exemplos físicos curtos para fixar:
  • Na Terra (com \boldsymbol{\omega} da rotação terrestre), vento e projéteis são desviados devido ao termo de Coriolis 2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_{\text{rel}}.
  • Um objeto colocado no centro de um carrossel em rotação, se estiver fixo no carrossel ( \mathbf{v}_{\text{rel}}=0), no referencial inercial ele tem velocidade \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} e aceleração centrífuga para fora \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}).
    Esses exemplos ajudam a lembrar qual termo corresponde a qual efeito físico.

Passo 10

Resumo prático para prova (passos que você aplica sempre):
  1. Escreva \mathbf{v}=\sum v_i\mathbf{e}_i(t).
  2. Calcule \left(\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}=\sum \dot v_i\mathbf{e}_i.
  3. Use \dot{\mathbf{e}}_i=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{e}_i e aplique
\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}.
  1. Para aceleração use a fórmula com os termos de Coriolis, Euler e centrífugo. Treine com \mathbf{v}=\mathbf{r} (posição) para ver surgirem as velocidades e acelerações familiares.

Resposta

\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}
\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}=\left(\frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}\right)_{\text{rot}} +2\,\boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rot}} +\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{v} +\boldsymbol{\omega}\times\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}\bigr)

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