Explique o que acontece quando um vetor é descrito em um sistema móvel de referência girante e efetua-se sua derivada no domínio do tempo.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique o que ocorre quando um vetor está escrito num sistema de referência móvel que gira e eu tomo a derivada temporal desse vetor.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Existe um vetor
descrito por componentes em uma base ortonormal móvel que gira no tempo. - A base gira com uma velocidade angular instantânea
(um vetor que representa eixo e taxa de rotação). - A pergunta é sobre a relação entre a derivada temporal do vetor vista por um observador inercial (ou fixo no espaço) e a derivada vista por um observador que usa a base girante.
Passo 2
Como primeira coisa, escrevemos o vetor na base móvel. Quero que você visualize que a base muda no tempo, então tanto as componentes quanto os vetores base podem depender de
. Escrevo
Aqui
são as componentes do vetor na base móvel e
são os vetores unitários da base que giram. Esta é a forma que você encontrará em prova: sempre deixe explícito que tanto
quanto
dependem de
.
Passo 3
Agora derivamos no tempo usando regra do produto (porque
e
dependem de
):
Expliquei cada termo: o primeiro conjunto
é a derivada das componentes mantendo a base “congelada”; o segundo reúne as variações da própria base. Para organizar, definimos a derivada tomada “no referencial girante” (derivada relativa) como
Assim a equação fica
Passo 4
Precisamos escrever
em termos da velocidade angular
. Intuição: um vetor unitário que gira tem derivada perpendicular a si mesmo, e a rotação infinitesimal pode ser representada por um vetor de pequena rotação
tal que
Dividindo por
e tomando limite, obtemos
Aqui
é o vetor velocidade angular cuja direção é o eixo instantâneo de rotação e cujo módulo é a taxa angular. Esta é uma forma padrão e básica: em qualquer rotação infinitesimal, a mudança de um vetor é o produto vetorial do vetor de rotação pela própria base.
Passo 5
Substituindo
na expressão da derivada, e usando linearidade do produto vetorial, obtemos a relação fundamental (teorema de transporte):
Explanação prática: a derivada total (vista por um observador fixo no espaço) é a soma da variação das componentes vistas no referencial girante mais um termo extra
que surge porque a base gira. Esse termo diz como a rotação da base “arrasta” o vetor no espaço.
Passo 6
Interpretações e exemplos simples para fixar a intuição:
- Se as componentes
são constantes no referencial girante ( ), então e
Isto corresponde ao caso de um vetor fixo no corpo em rotação: no espaço ele descreve um movimento por rotação com velocidade
.
- Exemplo físico clássico: se
é posição de um ponto fixo no corpo girante, a velocidade no referencial inercial é . Isso gera movimento circular.
Passo 7
Agora mostro a derivada segunda (útil para acelerações). Diferencio a identidade do Passo 5 no tempo (nota:
pode depender de
):
Aplicando a mesma regra de derivação e identificando a derivada rotante:
Reorganizando o termo que contém
e observando que aparece outro igual se fôssemos expandir mais cuidadosamente (ver a dedução abaixo), a forma usual (e bem conhecida) é
Se quiser, pense que ao derivar
surge
, e para
dentro aparece novamente
, levando ao fator
no termo misto.
Passo 8
Significado físico dos termos da fórmula da aceleração (quando
é posição
ou velocidade relativa):
-
: aceleração vista por um observador fixo na base girante (variação das componentes no corpo). -
: termo de Coriolis (aparece quando há velocidade relativa no referencial girante). -
: termo de Euler (devido à variação temporal da velocidade angular). -
: termo centrífugo (efeito de força aparente apontando “para fora”).
Em dinâmica, para aplicar a segunda lei de Newton em um referencial girante é comum levar o lado direito de
e, rearranjando, interpretar os termos extras como “forças fictícias” atuando no referencial girante: força de Coriolis, centrífuga e de Euler.
Passo 9
Exemplos físicos curtos para fixar:
- Na Terra (com
da rotação terrestre), vento e projéteis são desviados devido ao termo de Coriolis . - Um objeto colocado no centro de um carrossel em rotação, se estiver fixo no carrossel (
), no referencial inercial ele tem velocidade e aceleração centrífuga para fora .
Esses exemplos ajudam a lembrar qual termo corresponde a qual efeito físico.
Passo 10
Resumo prático para prova (passos que você aplica sempre):
- Escreva
. - Calcule
. - Use
e aplique
- Para aceleração use a fórmula com os termos de Coriolis, Euler e centrífugo. Treine com
(posição) para ver surgirem as velocidades e acelerações familiares.