Questão 04 - Explicite a função das matrizes de transformação no processo de mudança de base.

Passo 1

O enunciado pede que eu explicite a função das matrizes de transformação no processo de mudança de base.\n
Informações relevantes que temos (implícitas):\n
  • Existem duas bases de um espaço vetorial de dimensão n: uma base B=(b_1,\dots,b_n) e outra base B'=(b'_1,\dots,b'_n).\n
  • Dado um vetor v do espaço, ele pode ser representado por coordenadas em cada base: [v]_B e [v]_{B'}.\n
  • Queremos entender explicitamente qual é a matriz que transforma as coordenadas de um sistema para outro, como construí-la, por que ela é invertível e como ela transforma também a matriz de um operador linear.\n

Passo 2

Conceito de coordenadas (passo-a-passo e didático).\n
  • Uma base B=(b_1,\dots,b_n) é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço. Isso significa que todo vetor v pode ser escrito de forma única como combinação linear:\n
v = x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_n b_n.\n
  • Os escalares x_1,\dots,x_n são as coordenadas de v na base B. Escrevemos o vetor de coordenadas como\n
[v]_B = \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ \vdots \\\ x_n \end{pmatrix}.\n
  • O mesmo vale para a outra base B': existem coordenadas [v]_{B'} tais que\n
v = x'_1 b'_1 + x'_2 b'_2 + \cdots + x'_n b'_n,
com [v]_{B'} = \begin{pmatrix} x'_1 \\\ x'_2 \\\ \vdots \\\ x'_n \end{pmatrix}.\n
Isso é só para fixar a ideia: coordenada = coeficiente na combinação linear em relação à base escolhida.

Passo 3

Definição e construção da matriz de mudança de base (intuída e formalizada).\n
  • Queremos uma matriz P tal que, ao multiplicá-la por [v]_{B'}, eu obtenha [v]_B. Ou seja, procurar P com a propriedade\n
[v]_B = P\,[v]_{B'}.\n
  • Para construir P explicitamente, escrevo cada vetor da nova base b'_i em coordenadas da base antiga B. Ou seja, para cada i existe um vetor coluna [b'_i]_B tal que\n
b'_i = c_{1i} b_1 + c_{2i} b_2 + \cdots + c_{ni} b_n,
e [b'_i]_B = \begin{pmatrix} c_{1i} \\\ c_{2i} \\\ \vdots \\\ c_{ni} \end{pmatrix}.\n
  • Coloco esses vetores coluna lado a lado para formar a matriz P:\n
P = \big( [b'_1]_B \\ \; [b'_2]_B \\ \; \cdots \\ \; [b'_n]_B \big).\n
  • Agora explico por que essa escolha funciona: suponha v tem coordenadas [v]_{B'} = \begin{pmatrix} x'_1 \\\ \vdots \\\ x'_n \end{pmatrix}. Então\n
v = \sum_{i=1}^n x'_i b'_i = \sum_{i=1}^n x'_i \sum_{j=1}^n c_{ji} b_j = \sum_{j=1}^n \Big(\sum_{i=1}^n c_{ji} x'_i\Big) b_j.\n
  • O vetor de coordenadas na base B é exatamente a coluna cujas entradas são \sum_{i=1}^n c_{ji} x'_i, ou seja a multiplicação de matriz P\,[v]_{B'}. Portanto\n
[v]_B = P\,[v]_{B'}.

Passo 4

Relação inversa e invertibilidade de P.\n
  • Como B' também é base, os vetores [b'_1]_B,\dots,[b'_n]_B são linearmente independentes como colunas de P. Logo \det(P)\neq 0 e P é invertível.\n
  • Com isso existe P^{-1} e a relação inversa é\n
[v]_{B'} = P^{-1}\,[v]_B.\n
  • Interpretação prática: P converte coordenadas escritas em B' para coordenadas escritas em B; P^{-1} faz o caminho oposto.

Passo 5

Como aplicar isso em prova: passo-a-passo prático (o que fazer quando te derem bases concretas).\n
  1. Recebe as bases B e B'. Expresse cada vetor b'_i como combinação linear dos vetores de B (isto pode exigir resolver um pequeno sistema linear ou ler diretamente se B for a canonical).\n
  2. Os coeficientes obtidos formam a i-ésima coluna de P.\n
  3. Se a questão pede transformar coordenadas de B' para B, calcule [v]_B = P\,[v]_{B'}.\n
  4. Se pede o contrário, calcule P^{-1} (pelo método que souber: Gauss, fórmula para 2\times2, etc.) e então [v]_{B'} = P^{-1}\,[v]_B.\n
  5. Se for mudar a matriz de um operador linear T de uma base para outra, use o passo da próxima etapa.\n
    Dica: sempre verifique se \det(P)\neq 0 (ou que as colunas são independentes) — se der zero, há erro na montagem das colunas (talvez vetores não sejam base).

Passo 6

Mudança de base para a matriz de um operador linear (a parte que normalmente cai em prova).\n
  • Seja T\colon V\to V linear. Suponha que A é a matriz de T na base B, isto é,\n
[T]_B = A,
significando que para todo v vale [T(v)]_B = A\,[v]_B.\n
  • Queremos a matriz A' de T na base B', isto é A'=[T]_{B'} tal que [T(v)]_{B'} = A'\,[v]_{B'}.\n
  • Usamos as relações de mudança de coordenadas: [v]_B = P\,[v]_{B'} e [T(v)]_{B'} = P^{-1}\,[T(v)]_B.\n
  • Então\n
[T(v)]_{B'} = P^{-1}\,[T(v)]_B = P^{-1} A\,[v]_B = P^{-1} A \big(P\,[v]_{B'}\big).\n
  • Como isso deve valer para todo [v]_{B'}, concluímos a fórmula de mudança de base para a matriz do operador:\n
[T]_{B'} = A' = P^{-1} A P.\n
  • Observação interpretativa: as matrizes A e A' são similares; elas representam o mesmo operador em bases diferentes. A conjugação por P é a ação da mudança de base sobre a matriz do operador.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (mão na massa, para consolidar).\n
  • Considere V=\mathbb{R}^2, B=(e_1,e_2) (base canônica) e B'=(b'_1,b'_2) com b'_1=(1,1) e b'_2=(1,2).\n
  • Escrevo b'_1 e b'_2 nas coordenadas de B (aqui é trivial porque B é canônica): [b'_1]_B=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, [b'_2]_B=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.\n
  • A matriz de mudança é\n
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.\n
  • Se eu quero transformar [v]_{B'}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} para coordenadas em B, calculo\n
[v]_B = P\,[v]_{B'} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 1\cdot3 \\\\ 1\cdot2 + 2\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ 8\end{pmatrix}.\n
  • Para ir no sentido contrário, calculo P^{-1}. Aqui \det(P)=1\cdot2-1\cdot1=1, então\n
P^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
(cheque: P^{-1}P=I). Então [v]_{B'} = P^{-1}[v]_B.\n
Esse exemplo mostra como montar P e usar as fórmulas sem mistério.]

Passo 8

Resumo prático rápido e dicas de prova (meio amigo dando força).\n
  • Para qualquer mudança de base: construir P com colunas [b'_i]_B. Memorize essa regra — é a que cai direto na prova.\n
  • Lembre que P transforma coordenadas de B' para B: [v]_B = P [v]_{B'}. O inverso é com P^{-1}.\n
  • Para matriz de operador: [T]_{B'} = P^{-1} [T]_B P. Se alguém pedir para “transformar a matriz para a nova base”, é essa a fórmula que você aplica.\n
  • Cheque sempre a invertibilidade de P (se as colunas são base, P é invertível). Na prova faça um rápido cálculo de determinante ou verifique independência.\n
  • Respira fundo: decorar a construção (colunas = novas bases escritas na base antiga) e as duas fórmulas principais resolve quase todas as questões de mudança de base.\n

Resposta

P=\big([b'_1]_B\\ \;[b'_2]_B\\ \;\cdots\\ \;[b'_n]_B\big)
[v]_B = P\,[v]_{B'}
[v]_{B'} = P^{-1}\,[v]_B
[T]_{B'} = P^{-1}\,[T]_B\,P

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