Questão 07 - A coordenada de posição de uma partícula confinada a se mover ao longo de uma linha reta é dada por
, onde s é medido em metros a partir de uma origem conveniente e t em segundos. Determine (a) o tempo necessário para a partícula atingir uma velocidade de
a partir de sua condição inicial em
, (b) a aceleração da partícula quando
, e (c) o deslocamento líquido da partícula durante o intervalo de
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) determinar o tempo necessário para a partícula atingir velocidade de a partir de
;
(b) determinar a aceleração quando a velocidade é ;
(c) determinar o deslocamento líquido (variação de posição) entre e
.
(a) determinar o tempo necessário para a partícula atingir velocidade de
(b) determinar a aceleração quando a velocidade é
(c) determinar o deslocamento líquido (variação de posição) entre
Passo 2
Entendendo o que é velocidade e como obtê‑la: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, para obter
calculamos
. Vou derivar termo a termo usando regras básicas: a derivada de
é
, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de
é
. Aplicando isso a
:
Aqui
está em
. Sempre que eu usar uma fórmula de derivada, eu estou dizendo literalmente: pego cada potência de
, trago o expoente para frente e reduzo o expoente em 1.
Passo 3
Resolver (a): queremos o tempo
tal que
. Então montamos a equação
Agora resolvo passo a passo: somo
nos dois lados,
Divido por
,
Tomo a raiz quadrada. Como o enunciado pede o tempo a partir de
, tomo a raiz positiva:
Posso simplificar a forma exata escrevendo
. Em valor numérico,
Observação útil: a outra raiz negativa não interessa porque tempo negativo seria antes de
, e a pergunta pede a partir de
.
Passo 4
Entendendo aceleração: a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. Também pode ser vista como a segunda derivada da posição:
. Vou derivar
termo a termo:
Portanto
em
. Isso é intuitivo: a aceleração cresce linearmente com o tempo aqui.
Passo 5
Resolver (b): queremos
quando
. Primeiro encontro o tempo
tal que
:
Somando
,
Tomando a raiz positiva (tempo após
),
Podemos também escrever
. Agora uso
para obter a aceleração nesse instante:
Simplificando uma forma exata: como
, temos
Valor numérico aproximado:
Passo 6
Resolver (c): deslocamento líquido entre
e
significa a variação da posição
. Não preciso integrar aqui porque já tenho a função posição. Calculo os dois valores:
Calculo
:
Calculo
:
Portanto o deslocamento líquido é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)