Questão 07 - A coordenada de posição de uma partícula confinada a se mover ao longo de uma linha reta é dada por \mathrm{s}=3 \mathrm{t}^{3}-12 \mathrm{t}+3, onde s é medido em metros a partir de uma origem conveniente e t em segundos. Determine (a) o tempo necessário para a partícula atingir uma velocidade de 72 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir de sua condição inicial em \mathrm{t}=0, (b) a aceleração da partícula quando \mathrm{v}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e (c) o deslocamento líquido da partícula durante o intervalo de \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} \mathrm{a} \mathrm{t}=4 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
\mathrm{s}(t)=3t^{3}-12t+3,
onde \mathrm{s} está em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) determinar o tempo necessário para a partícula atingir velocidade de 72\\ \mathrm{m/s} a partir de t=0;
(b) determinar a aceleração quando a velocidade é 30\\ \mathrm{m/s};
(c) determinar o deslocamento líquido (variação de posição) entre t=1\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade e como obtê‑la: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, para obter v(t) calculamos v(t)=\dfrac{d\mathrm{s}}{dt}. Vou derivar termo a termo usando regras básicas: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de c\cdot t é c. Aplicando isso a \mathrm{s}(t):
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{3}-12t+3\bigr)=3\cdot 3t^{2}-12=9t^{2}-12.
Aqui v(t) está em \mathrm{m/s}. Sempre que eu usar uma fórmula de derivada, eu estou dizendo literalmente: pego cada potência de t, trago o expoente para frente e reduzo o expoente em 1.

Passo 3

Resolver (a): queremos o tempo t\ge 0 tal que v(t)=72. Então montamos a equação
9t^{2}-12=72.
Agora resolvo passo a passo: somo 12 nos dois lados,
9t^{2}=84.
Divido por 9,
t^{2}=\frac{84}{9}=\frac{28}{3}.
Tomo a raiz quadrada. Como o enunciado pede o tempo a partir de t=0, tomo a raiz positiva:
t=\sqrt{\frac{28}{3}}.
Posso simplificar a forma exata escrevendo \sqrt{\dfrac{28}{3}}=\dfrac{\sqrt{84}}{3}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}. Em valor numérico,
t\approx 3,055\\ \mathrm{s}.
Observação útil: a outra raiz negativa não interessa porque tempo negativo seria antes de t=0, e a pergunta pede a partir de t=0.

Passo 4

Entendendo aceleração: a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Também pode ser vista como a segunda derivada da posição: a(t)=\dfrac{d^{2}\mathrm{s}}{dt^{2}}. Vou derivar v(t)=9t^{2}-12 termo a termo:
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(9t^{2}-12\bigr)=9\cdot 2t=18t.
Portanto a(t)=18t em \mathrm{m/s^{2}}. Isso é intuitivo: a aceleração cresce linearmente com o tempo aqui.

Passo 5

Resolver (b): queremos a quando v=30\\ \mathrm{m/s}. Primeiro encontro o tempo t tal que v(t)=30:
9t^{2}-12=30.
Somando 12,
9t^{2}=42 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{42}{9}=\frac{14}{3}.
Tomando a raiz positiva (tempo após t=0),
t=\sqrt{\frac{14}{3}}.
Podemos também escrever t=\dfrac{\sqrt{42}}{3}. Agora uso a(t)=18t para obter a aceleração nesse instante:
a=18\cdot t=18\cdot \sqrt{\frac{14}{3}}.
Simplificando uma forma exata: como t=\dfrac{\sqrt{42}}{3}, temos
a=18\cdot \frac{\sqrt{42}}{3}=6\sqrt{42}.
Valor numérico aproximado:
a\approx 38,884\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Resolver (c): deslocamento líquido entre t=1 e t=4 significa a variação da posição \Delta \mathrm{s}=\mathrm{s}(4)-\mathrm{s}(1). Não preciso integrar aqui porque já tenho a função posição. Calculo os dois valores:
Calculo \mathrm{s}(4):
\mathrm{s}(4)=3\cdot 4^{3}-12\cdot 4+3=3\cdot 64-48+3=192-48+3=147\\ \mathrm{m}.
Calculo \mathrm{s}(1):
\mathrm{s}(1)=3\cdot 1^{3}-12\cdot 1+3=3-12+3=-6\\ \mathrm{m}.
Portanto o deslocamento líquido é
\Delta \mathrm{s}=\mathrm{s}(4)-\mathrm{s}(1)=147-(-6)=153\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) t=\sqrt{\dfrac{28}{3}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\approx 3,055\\ \mathrm{s}
(b) a=6\sqrt{42}\approx 38,884\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) \Delta \mathrm{s}=153\\ \mathrm{m}

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