9.74 Calcule a fração mássica de cementita eutetoide em uma liga ferro-carbono que contém 1,00 \% \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fração mássica de cementita eutetoide (ou seja, a parte da cementita que se forma no momento eutetoide, dentro da perlita) numa liga ferro-carbono com composição global \,C_0=1,00\% de carbono. Informações relevantes (valores padrão do diagrama Fe–C que usaremos):
\,C_{E}=0,76\% (composição da austenita no ponto eutetoide),
\,C_{\alpha}=0,02\% (solubilidade de C em ferrita, valor aproximado a baixas temperaturas),
\,C_{\text{Fe}_3\text{C}}=6,70\% (composição da cementita \text{Fe}_3\text{C} em % de C).
Vamos manter a hipótese de equilíbrio e usar a regra da alavanca (lever rule) no diagrama Fe–C para obter frações mássicas. Neste passo eu apenas enumerei o que é pedido e os dados; não resolvi nada ainda.

Passo 2

Explicação da ideia e da ferramenta: a regra da alavanca (lever rule). Para duas fases A e B em equilíbrio numa liga de composição \,C_0, a fração mássica da fase A é dada por
W_A=\frac{C_0-C_B}{C_A-C_B},
onde \,C_A e \,C_B são as composições em carbono (em %) das fases A e B na linha de equilíbrio. Analogamente para W_B. Aqui cada símbolo significa: \,C_0 = composição global da liga; \,C_A, \,C_B = composições dos constituintes nas extremidades do traço de equilíbrio; W_A = fração mássica da fase A. Vou usar essa regra repetidas vezes: primeiro para achar que fração de cementita existe dentro da perlita (isto é, fração mássica de cementita na própria perlita), e depois para separar a cementita proeutetoide (formada antes do eutetoide) da perlita restante. A estratégia: (i) calcular a fração mássica de cementita dentro da perlita; (ii) calcular a fração mássica de cementita proeutetoide; (iii) multiplicar a fração mássica de perlita pelo conteúdo de cementita dentro da perlita para obter a fração mássica de cementita eutetoide (a que o enunciado pede).

Passo 3

Calculando a fração mássica de cementita dentro da perlita (isto é, em uma mistura ferrita + cementita que resulta do eutetoide a \,C_{E}=0,76\%). Aplicamos a lever rule entre \alpha (ferrita, \,C_{\alpha}=0,02\%) e \text{Fe}_3\text{C} ( \,C_{\text{Fe}_3\text{C}}=6,70\%), usando a composição global da perlita \,C_{E}=0,76\%. A fórmula é:
w_{\text{cem}}^{\text{(perlita)}}=\frac{C_{E}-C_{\alpha}}{C_{\text{Fe}_3\text{C}}-C_{\alpha}}.
Agora substituímos os números:
w_{\text{cem}}^{\text{(perlita)}}=\frac{0,76-0,02}{6,70-0,02}=\frac{0,74}{6,68}.
Calculemos a razão:
w_{\text{cem}}^{\text{(perlita)}}\approx 0{,}11078\quad\text{(fração mássica)}.çãá
Em porcentagem isto é aproximadamente 11{,}08\%. Isto significa que, dentro da perlita, cerca de 11{,}08\% da massa é cementita e o restante é ferrita.

Passo 4

Agora encontramos a fração mássica de cementita proeutetoide (a cementita que se forma antes do eutetoide, durante o resfriamento de austenita com C_0> C_E). Quando a liga com \,C_0=1{,}00\% é resfriada, forma-se cementita proeutetoide até que a austenita remanescente fique com \,C_E=0,76\%; ou seja, a massa x de cementita proeutetoide satisfaz o balanço de carbono
C_0 = x\cdot C_{\text{Fe}_3\text{C}} + (1-x)\cdot C_{E}.
Rearranjando, a fração mássica de cementita proeutetoide é
W_{\text{pro}}=\frac{C_0-C_{E}}{C_{\text{Fe}_3\text{C}}-C_{E}}.
Substituindo números:
W_{\text{pro}}=\frac{1{,}00-0{,}76}{6{,}70-0{,}76}=\frac{0{,}24}{5{,}94}.
Calculando:
W_{\text{pro}}\approx 0{,}040404\quad\text{(fração mássica)}.çãá
Em porcentagem isto é cerca de 4{,}040\%.

Passo 5

A massa que resta para transformar-se eutetoidamente em perlita é W_{\text{perlita}}=1-W_{\text{pro}}. Então
W_{\text{perlita}}=1-0{,}040404\approx 0{,}959596.
Isto diz que cerca de 95{,}9596\% da massa da liga transforma-se em perlita (essa é a massa da perlita).

Passo 6

Agora a fração mássica de cementita eutetoide (a cementita que está dentro da perlita) é simplesmente a fração mássica da perlita multiplicada pelo conteúdo de cementita dentro da perlita:
W_{\text{cem,eutetoide}}=W_{\text{perlita}}\cdot w_{\text{cem}}^{\text{(perlita)}}.
Substituindo os valores que já calculamos:
W_{\text{cem,eutetoide}}=0{,}959596\times 0{,}11078\approx 0{,}10626.
Em porcentagem:
W_{\text{cem,eutetoide}}\approx 10{,}626\%.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): a fração mássica total de cementita (proeutetoide + eutetoide) deve dar
W_{\text{total,cem}}=W_{\text{pro}}+W_{\text{cem,eutetoide}}\approx 0{,}040404+0{,}10626\approx 0{,}14666,
ou seja \approx 14{,}67\%. Isso coincide com a aplicação direta do balanço entre \alpha e \text{Fe}_3\text{C}:
W_{\text{total,cem}}=\frac{C_0-C_{\alpha}}{C_{\text{Fe}_3\text{C}}-C_{\alpha}}=\frac{1{,}00-0{,}02}{6{,}70-0{,}02}\approx 0{,}1467,
portanto os cálculos estão consistentes.

Resposta

W_{\text{cem,eutetoide}}\approx 0{,}1063 (fração mássica)
W_{\text{cem,eutetoide}}\approx 10{,}63\%

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