Explique por que cada uma das seguintes expressões faz sentido
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}+a

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que a expressão \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a faz sentido.
As informações implícitas (que vou assumir para poder explicar claramente) são:
  • \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores pertencentes ao mesmo espaço vetorial euclidiano \mathbb{R}^n (ou, mais geralmente, pertencem ao mesmo espaço vetorial sobre um corpo — tipicamente \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • a é um escalar pertencente ao mesmo corpo (tipicamente a\in\mathbb{R} se os vetores são reais, ou a\in\mathbb{C} no caso complexo).
O que se pede: justificar, passo a passo, por que a soma \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a é uma expressão bem definida (i.e., os termos que aparecem têm tipos compatíveis para serem somados).

Passo 2

O que é \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} (produto escalar / dot product): se \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n, então por definição
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Aqui cada u_i e v_i é um número (um escalar). A soma dos produtos u_i v_i é, portanto, um número (um escalar). Logo, o resultado \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é um escalar — isto é, um elemento do mesmo corpo onde u_i e v_i vivem (ex.: \mathbb{R}).
Explicação didática curta: o produto escalar combina dois vetores coordenada a coordenada e, ao final, dá um número. Não dá um vetor; dá um escalar.

Passo 3

O que significa somar com a: se a é um escalar (por hipótese a\in\mathbb{R}), então a soma \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a é a soma entre dois escalares: o escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} e o escalar a. A soma de dois escalares é sempre bem definida no mesmo corpo; portanto a expressão é válida e o resultado é um escalar. Em símbolos:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\in\mathbb{R},\qquad a\in\mathbb{R} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a\in\mathbb{R}.

Passo 4

Um exemplo numérico para fixar a ideia: tome \mathbf{u}=(1,2,3), \mathbf{v}=(4,-1,0) e a=5. Então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 1\cdot4 + 2\cdot(-1) + 3\cdot0 = 4-2+0 = 2,
e por fim
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a = 2 + 5 = 7,
um número bem definido. Viu? Nada de vetores misturados com escalares: tudo bate.

Passo 5

Observações importantes (armadilhas e generalizações):
  • Se os vetores forem complexos, o produto interno usual em \mathbb{C}^n é \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\sum \overline{u_i}v_i, que também é um escalar (agora em \mathbb{C}). Nesse caso \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + a faz sentido desde que a\in\mathbb{C} (ou a\in\mathbb{R}, pois \mathbb{R}\subset\mathbb{C}).
  • Se por acaso a fosse um vetor (em vez de um escalar), a expressão \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a não faria sentido porque aí seria tentativa de somar um escalar com um vetor — tipos incompatíveis.
  • Se \mathbf{u} e \mathbf{v} não estiverem no mesmo \mathbb{R}^n (por exemplo vetores de dimensões diferentes), \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} nem mesmo está definido, então a expressão é inválida desde o início.

Passo 6

Resumo conceitual e dica para prova: sempre verifique os “tipos” (vetor ou escalar) de cada termo. Produto escalar transforma dois vetores em um escalar; somar com a exige que a seja escalar no mesmo corpo (ex.: \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Se essas condições forem verdadeiras, a expressão faz sentido e resulta em um escalar.

Resposta

Faz sentido porque \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é um escalar (um número) e a é um escalar; portanto a soma \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+a é a soma de dois escalares e está bem definida.

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