Explique por que cada uma das seguintes expressões faz sentido
Passo 1
O enunciado pede que eu explique por que a expressão
faz sentido. As informações dadas (implícitas) são:
-
são vetores do mesmo espaço (ou, de forma mais geral, de um espaço vetorial real onde o produto interno está definido). - A expressão mostra primeiro um produto interno (ponto) entre
e , seguido de uma multiplicação por .
Passo 2
Definição do produto interno (dot product) em coordenadas. Se
e
,
então o produto interno é
então o produto interno é
Importante: o resultado de
é um número real (um escalar), ou seja,
.
Passo 3
Definição de multiplicação de escalar por vetor. Se
e
,
então
então
ou seja, multiplicar um escalar por um vetor é uma operação bem definida que produz outro vetor em
.
Passo 4
Agora junte as duas definições: em
primeiro
é calculado e é um escalar; depois esse escalar multiplica
. Em coordenadas:
Portanto a expressão é bem definida e o resultado é um vetor em
.
Passo 5
Interpretação geométrica rápida (para intuir por que faz sentido):
é um número que mede a projeção/alinhamento entre
e
. Multiplicar
por esse número significa apenas escalar (aumentar ou reduzir, possivelmente invertendo sinal) o vetor
. Isso é uma operação geométrica simples e bem definida.
Passo 6
Exemplo numérico concreto (para sentir as contas): tome
,
,
.
Calcule
Calcule
logo
Viu? Primeiro deu um escalar, depois esse escalar multiplicou o vetor.
Passo 7
Observações úteis para a prova e armadilhas:
- As parênteses importam:
está bem definido porque o produto interno vem primeiro. Escrever sem parênteses é ambíguo e, em geral, não definido. - Não confundir com produto vetor a vetor (que só existe em formas específicas, por ex. produto vetorial em
); aqui a sequência dot → escalar → escalar vezes vetor é a única razão que torna a expressão válida. - A operação é linear em
: .
Resposta
Faz sentido porque
é um escalar em
e a multiplicação de um escalar por um vetor
é uma operação bem definida; explicitamente
, que resulta em um vetor de
.