Explique por que cada uma das seguintes expressões faz sentido
(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{w}

Passo 1

O enunciado pede que eu explique por que a expressão (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w} faz sentido. As informações dadas (implícitas) são:
  • \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} são vetores do mesmo espaço \mathbb{R}^n (ou, de forma mais geral, de um espaço vetorial real onde o produto interno está definido).
  • A expressão mostra primeiro um produto interno (ponto) entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, seguido de uma multiplicação por \mathbf{w}.

Passo 2

Definição do produto interno (dot product) em coordenadas. Se
\displaystyle \mathbf{u}=(u_1,\ldots,u_n) e \displaystyle \mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_n),
então o produto interno é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i.
Importante: o resultado de \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é um número real (um escalar), ou seja, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\in\mathbb{R}.

Passo 3

Definição de multiplicação de escalar por vetor. Se a\in\mathbb{R} e
\displaystyle \mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_n),
então
a\mathbf{w}=(a w_1,\;a w_2,\;\ldots,\;a w_n),
ou seja, multiplicar um escalar por um vetor é uma operação bem definida que produz outro vetor em \mathbb{R}^n.

Passo 4

Agora junte as duas definições: em (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w} primeiro \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é calculado e é um escalar; depois esse escalar multiplica \mathbf{w}. Em coordenadas:
(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w} =\left(\sum_{i=1}^{n}u_i v_i\right)(w_1,\ldots,w_n) =\Big(\big(\sum_{i=1}^{n}u_i v_i\big)w_1,\ldots,\big(\sum_{i=1}^{n}u_i v_i\big)w_n\Big).
Portanto a expressão é bem definida e o resultado é um vetor em \mathbb{R}^n.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (para intuir por que faz sentido): \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta é um número que mede a projeção/alinhamento entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Multiplicar \mathbf{w} por esse número significa apenas escalar (aumentar ou reduzir, possivelmente invertendo sinal) o vetor \mathbf{w}. Isso é uma operação geométrica simples e bem definida.

Passo 6

Exemplo numérico concreto (para sentir as contas): tome \mathbf{u}=(1,2,3), \mathbf{v}=(4,0,-1), \mathbf{w}=(2,1,0).
Calcule
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot4+2\cdot0+3\cdot(-1)=4-3=1,
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(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}=1\cdot(2,1,0)=(2,1,0).
Viu? Primeiro deu um escalar, depois esse escalar multiplicou o vetor.

Passo 7

Observações úteis para a prova e armadilhas:
  • As parênteses importam: (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w} está bem definido porque o produto interno vem primeiro. Escrever \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} sem parênteses é ambíguo e, em geral, não definido.
  • Não confundir com produto vetor a vetor (que só existe em formas específicas, por ex. produto vetorial em \mathbb{R}^3); aqui a sequência dot → escalar → escalar vezes vetor é a única razão que torna a expressão válida.
  • A operação é linear em \mathbf{w}: (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_1+(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_2.

Resposta

Faz sentido porque \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é um escalar em \mathbb{R} e a multiplicação de um escalar por um vetor \mathbf{w}\in\mathbb{R}^n é uma operação bem definida; explicitamente (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}=\big(\sum_{i=1}^n u_i v_i\big)(w_1,\ldots,w_n), que resulta em um vetor de \mathbb{R}^n.

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