Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para explicar por que essa integral é imprópria. Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - Não há outras imagens ou dados.
Passo 2
O que significa uma integral ser “imprópria”? Vou explicar duas formas principais em que uma integral definida pode ser considerada imprópria:
- Tipo I (intervalo ilimitado): quando um dos limites de integração é infinito (por exemplo
). - Tipo II (singularidade do integrando): quando o integrando não é definido ou não é finito em algum ponto do intervalo (por exemplo uma divisão por zero dentro do intervalo).
Para decidir qual caso se aplica, precisamos checar o integrando e os limites.
Passo 3
Verificar se há singularidade do integrando no intervalo
.
O denominador é
. Como
o denominador nunca é zero e nunca fica indefinido. Logo o integrando
é uma função contínua em todo
. Portanto NÃO há singularidade do tipo II.
Passo 4
Verificar os limites do intervalo.
O limite inferior é
. Isso significa que o intervalo de integração é ilimitado (não é compacto): estamos integrando numa faixa que vai até o infinito negativo. Esse é precisamente o caso do Tipo I (intervalo ilimitado). Por isso a integral é imprópria — pelo fato de ter um limite de integração infinito.
Formalmente, essa integral é definida como limite:
Passo 5
(Passo extra didático: mostrar como avaliar esse limite para testar convergência — útil na prova.)
Calcular a integral indefinida para poder aplicar o limite. Use a substituição , então
, portanto
. Assim
Calcular a integral indefinida para poder aplicar o limite. Use a substituição
Agora a integral própria de
até
é
Tomando
, tem-se
, então
e portanto
Ou seja, o limite não é finito: a integral imprópria diverge (tende a
).
Passo 6
Conclusão pedagógica e dica de prova: essa integral é imprópria por causa do limite inferior infinito (Tipo I). Para responder num exame, primeiro verifique se o integrando tem singularidades no intervalo; se não houver (como aqui), a impropriedade vem apenas do limite infinito e deve ser tratada escrevendo a integral como um limite (como em
). Em seguida avalie a integral indefinida e calcule o limite para decidir se converge ou diverge — aqui diverge para
.
Resposta
A integral é imprópria porque o limite inferior é
(intervalo de integração ilimitado — Tipo I). Em forma de limite:
, e esse limite diverge (vai para
).