Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
\int_{-\infty}^{0} \frac{x d x}{x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{-\infty}^{0}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx
e pede para explicar por que essa integral é imprópria. Informações relevantes que temos:
  • O integrando é \dfrac{x}{x^{2}+5}.
  • O intervalo de integração é de x=-\infty até x=0.
  • Não há outras imagens ou dados.

Passo 2

O que significa uma integral ser “imprópria”? Vou explicar duas formas principais em que uma integral definida pode ser considerada imprópria:
  • Tipo I (intervalo ilimitado): quando um dos limites de integração é infinito (por exemplo \pm\infty).
  • Tipo II (singularidade do integrando): quando o integrando não é definido ou não é finito em algum ponto do intervalo (por exemplo uma divisão por zero dentro do intervalo).
Para decidir qual caso se aplica, precisamos checar o integrando e os limites.

Passo 3

Verificar se há singularidade do integrando no intervalo (-\infty,0].
O denominador é x^{2}+5. Como
x^{2}+5 \ge 5>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
o denominador nunca é zero e nunca fica indefinido. Logo o integrando \dfrac{x}{x^{2}+5} é uma função contínua em todo (-\infty,0]. Portanto NÃO há singularidade do tipo II.

Passo 4

Verificar os limites do intervalo.
O limite inferior é -\infty. Isso significa que o intervalo de integração é ilimitado (não é compacto): estamos integrando numa faixa que vai até o infinito negativo. Esse é precisamente o caso do Tipo I (intervalo ilimitado). Por isso a integral é imprópria — pelo fato de ter um limite de integração infinito.
Formalmente, essa integral é definida como limite:
\int_{-\infty}^{0}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx.

Passo 5

(Passo extra didático: mostrar como avaliar esse limite para testar convergência — útil na prova.)
Calcular a integral indefinida para poder aplicar o limite. Use a substituição u=x^{2}+5, então du=2x\,dx, portanto x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+5}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln(u)+C=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+5)+C.
Agora a integral própria de a até 0 é
\int_{a}^{0}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx=\frac{1}{2}\Big[\ln(0^{2}+5)-\ln(a^{2}+5)\Big]=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{5}{a^{2}+5}\right).
Tomando a\to-\infty, tem-se a^{2}+5\to\infty, então \dfrac{5}{a^{2}+5}\to 0^{+} e portanto
\lim_{a\to-\infty}\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{5}{a^{2}+5}\right)=-\infty.
Ou seja, o limite não é finito: a integral imprópria diverge (tende a -\infty).

Passo 6

Conclusão pedagógica e dica de prova: essa integral é imprópria por causa do limite inferior infinito (Tipo I). Para responder num exame, primeiro verifique se o integrando tem singularidades no intervalo; se não houver (como aqui), a impropriedade vem apenas do limite infinito e deve ser tratada escrevendo a integral como um limite (como em \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\cdots). Em seguida avalie a integral indefinida e calcule o limite para decidir se converge ou diverge — aqui diverge para -\infty.

Resposta

A integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty (intervalo de integração ilimitado — Tipo I). Em forma de limite:
\displaystyle \int_{-\infty}^{0}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx, e esse limite diverge (vai para -\infty).

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