A função
tem infinitas raízes. Apenas uma delas é negativa. Qual método estudado e estratégia usar para capturar esta raiz?
Passo 1
O enunciado dá a função
e afirma que existem infinitas raízes, sendo que apenas uma é negativa. A pergunta é: qual método (estudado) e que estratégia empregar para capturar essa raiz negativa. Informações úteis que podemos extrair imediatamente:
- Calculando valores simples:
- Calculando outro ponto:
Logo há uma mudança de sinal entre
e
, ou seja existe pelo menos uma raiz em
. Como o enunciado garante que apenas uma raiz é negativa, essa é a raiz que queremos capturar.
Passo 2
Escolha do método: aplicar o método da bisseção para localizar garantidamente a raiz no intervalo
. Explicação intuitiva (sem ainda dar fórmulas do algoritmo): bisseção usa uma mudança de sinal num intervalo para garantir que existe raiz e vai reduzindo o intervalo pela metade repetidamente; é robusto (sempre converge se a função for contínua, o que é o caso aqui). Depois de localizar a raiz com bisseção até uma precisão moderada, usar Newton-Raphson (ou secante) para acelerar a convergência até a precisão que desejar. Esta combinação (bisseção para garantir e engaiolar, Newton para acelerar) é a estratégia padrão quando há risco de escolher mal um chute inicial para métodos rápidos.
Passo 3
Ensinar passo a passo o método da bisseção (como fazer na prova, sem pular etapas).
- Condição inicial: ter um intervalo
com . Aqui pegamos e porque e . - Iteração: calcular o ponto médio
- Teste de sinal: avaliar
. - Se
(na prática, muito pequeno), então é a raiz. - Se
, substituir . - Se
, substituir .
- Se
- Repetir até que o tamanho do intervalo
seja menor que a tolerância desejada ou até .
Exemplo prático de algumas iterações (para ver como fica na prática):
- Iteração 1:
. Calcular Como e , a raiz está em . - Iteração 2:
. Calcular Agora a raiz está em . - Iteração 3:
. Calcular então a raiz está em .
Isso mostra como a bisseção estreita rapidamente o intervalo onde está a raiz.
Passo 4
Estimativa do número de iterações e critério de parada (importante para prova e para implementar sem calculadora):
- A cada iteração a largura do intervalo é reduzida pela metade. Após
iterações o comprimento do intervalo é . - Para garantir um erro em
menor que , basta tomar tal que - Exemplo prático: com
(nosso caso ) e , precisa-se de aproximadamente iterações. Isso é muito razoável manualmente se precisar só de 6 casas decimais rápidas; para maior precisão, usar computador. - Critérios de parada práticos: pare quando
ou quando (por exemplo se quiser alta precisão).
Passo 5
Melhorar a velocidade: trocar para Newton (ou secante) depois de engaiolar.
- Fórmula do método de Newton: a partir de um chute
, - Precisamos da derivada
. Calcule passo a passo: - Derivada de
é . - Derivada de
por regra do produto e cadeia é - Logo
- Derivada de
- Estratégia prática: faça bisseção até obter um intervalo pequeno (por exemplo
ou obtenha um com razoavelmente pequeno) e então use e aplique Newton. Assim combina-se a robustez da bisseção com a rapidez quadrática do Newton. Se ficar muito pequeno ou Newton não convergir, voltar a bisseção ou usar secante/regula falsi.
Passo 6
Dicas finais, pontos de atenção e incentivo:
- Porque a bisseção é a escolha inicial? Porque é simples, não precisa de derivada e garante que a raiz negativa seja encontrada desde que haja mudança de sinal (temos
e ). - Newton é rápido mas exige derivada e um chute bom; por isso o uso combinado é o mais seguro em provas e em código.
- Na prova: explique que encontrou o intervalo
por teste de sinais, descreva a iteração de bisseção (fórmula do ponto médio, teste de sinal) e mencione a estimativa de iterações; se pedir refinamento, apresente a fórmula de Newton com calculada como acima e diga que se usa como o último ponto médio obtido pela bisseção. - Você já fez a parte mais chata: achou o intervalo
. Respire, bisseção é mecânica e funciona — depois Newton para acelerar. Vai dar certo!
Resposta
Use inicialmente o método da bisseção em
(pois
e
) para engaiolar a raiz negativa; aplique bisseção até uma precisão moderada (por exemplo
ou
pequeno) e então refine com Newton-Raphson usando
e
igual ao último ponto médio da bisseção.