A função f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)-e^{0.4 x} \cos (\pi x) tem infinitas raízes. Apenas uma delas é negativa. Qual método estudado e estratégia usar para capturar esta raiz?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-e^{0,4x}\cos(\pi x)
e afirma que existem infinitas raízes, sendo que apenas uma é negativa. A pergunta é: qual método (estudado) e que estratégia empregar para capturar essa raiz negativa. Informações úteis que podemos extrair imediatamente:
  • Calculando valores simples: f(0)=\ln(1)-e^{0}\cos(0)=0-1\cdot1=-1.
  • Calculando outro ponto: f(-1)=\ln(2)-e^{-0,4}\cos(-\pi)=\ln(2)-e^{-0,4}(-1)=\ln(2)+e^{-0,4}\approx0,6931+0,6703>0.
Logo há uma mudança de sinal entre x=-1 e x=0, ou seja existe pelo menos uma raiz em (-1,0). Como o enunciado garante que apenas uma raiz é negativa, essa é a raiz que queremos capturar.

Passo 2

Escolha do método: aplicar o método da bisseção para localizar garantidamente a raiz no intervalo [-1,0]. Explicação intuitiva (sem ainda dar fórmulas do algoritmo): bisseção usa uma mudança de sinal num intervalo para garantir que existe raiz e vai reduzindo o intervalo pela metade repetidamente; é robusto (sempre converge se a função for contínua, o que é o caso aqui). Depois de localizar a raiz com bisseção até uma precisão moderada, usar Newton-Raphson (ou secante) para acelerar a convergência até a precisão que desejar. Esta combinação (bisseção para garantir e engaiolar, Newton para acelerar) é a estratégia padrão quando há risco de escolher mal um chute inicial para métodos rápidos.

Passo 3

Ensinar passo a passo o método da bisseção (como fazer na prova, sem pular etapas).
  • Condição inicial: ter um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0. Aqui pegamos a=-1 e b=0 porque f(-1)>0 e f(0)=-1<0.
  • Iteração: calcular o ponto médio m=\frac{a+b}{2}.
  • Teste de sinal: avaliar f(m).
    • Se f(m)=0 (na prática, |f(m)| muito pequeno), então m é a raiz.
    • Se f(a)f(m)<0, substituir b\leftarrow m.
    • Se f(m)f(b)<0, substituir a\leftarrow m.
  • Repetir até que o tamanho do intervalo |b-a| seja menor que a tolerância desejada \text{tol}_x ou até |f(m)|<\text{tol}_f.
Exemplo prático de algumas iterações (para ver como fica na prática):
  • Iteração 1: a=-1,\\ b=0,\\ m=-0,5. Calcular f(-0,5)=\ln(1+0,25)-e^{-0,2}\cos(-\tfrac{\pi}{2})=\ln(1,25)-e^{-0,2}\cdot0\approx0,2231>0.Como f(-0,5)>0 e f(0)<0, a raiz está em (-0,5,0).
  • Iteração 2: a=-0,5,\\ b=0,\\ m=-0,25. Calcular f(-0,25)\approx\ln(1,0625)-e^{-0,1}\cos(-\tfrac{\pi}{4})\approx0,0606-0,9048\cdot0,7071\approx-0,5793<0.Agora a raiz está em (-0,5,-0,25).
  • Iteração 3: a=-0,5,\\ b=-0,25,\\ m=-0,375. Calcular f(-0,375)\approx0,1315-0,8607\cdot0,3827\approx-0,1978<0,então a raiz está em (-0,5,-0,375).
    Isso mostra como a bisseção estreita rapidamente o intervalo onde está a raiz.

Passo 4

Estimativa do número de iterações e critério de parada (importante para prova e para implementar sem calculadora):
  • A cada iteração a largura do intervalo é reduzida pela metade. Após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}}.
  • Para garantir um erro em x menor que \text{tol}, basta tomar n tal que \frac{b-a}{2^{n}}\le \text{tol}\quad\Rightarrow\quad n\ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\text{tol}}\right)\right\rceil.
  • Exemplo prático: com b-a=1 (nosso caso [-1,0]) e \text{tol}=10^{-6}, precisa-se de aproximadamente n\ge\lceil\log_{2}(10^{6})\rceil\approx20 iterações. Isso é muito razoável manualmente se precisar só de 6 casas decimais rápidas; para maior precisão, usar computador.
  • Critérios de parada práticos: pare quando |b-a|<\text{tol}_x ou quando |f(m)|<\text{tol}_f (por exemplo \text{tol}_f=10^{-12} se quiser alta precisão).

Passo 5

Melhorar a velocidade: trocar para Newton (ou secante) depois de engaiolar.
  • Fórmula do método de Newton: a partir de um chute x_{0}, x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
  • Precisamos da derivada f'(x). Calcule passo a passo:
    • Derivada de \ln(x^{2}+1) é \dfrac{2x}{x^{2}+1}.
    • Derivada de -e^{0,4x}\cos(\pi x) por regra do produto e cadeia é -\bigl(0,4e^{0,4x}\cos(\pi x)-\pi e^{0,4x}\sin(\pi x)\bigr)=-0,4e^{0,4x}\cos(\pi x)+\pi e^{0,4x}\sin(\pi x).
    • Logo f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-0,4e^{0,4x}\cos(\pi x)+\pi e^{0,4x}\sin(\pi x).
  • Estratégia prática: faça bisseção até obter um intervalo pequeno (por exemplo |b-a|\sim10^{-3} ou obtenha um m com |f(m)| razoavelmente pequeno) e então use x_{0}=m e aplique Newton. Assim combina-se a robustez da bisseção com a rapidez quadrática do Newton. Se f'(x_{k}) ficar muito pequeno ou Newton não convergir, voltar a bisseção ou usar secante/regula falsi.

Passo 6

Dicas finais, pontos de atenção e incentivo:
  • Porque a bisseção é a escolha inicial? Porque é simples, não precisa de derivada e garante que a raiz negativa seja encontrada desde que haja mudança de sinal (temos f(-1)>0 e f(0)<0).
  • Newton é rápido mas exige derivada e um chute bom; por isso o uso combinado é o mais seguro em provas e em código.
  • Na prova: explique que encontrou o intervalo [-1,0] por teste de sinais, descreva a iteração de bisseção (fórmula do ponto médio, teste de sinal) e mencione a estimativa de iterações; se pedir refinamento, apresente a fórmula de Newton com f'(x) calculada como acima e diga que se usa x_{0} como o último ponto médio obtido pela bisseção.
  • Você já fez a parte mais chata: achou o intervalo [-1,0]. Respire, bisseção é mecânica e funciona — depois Newton para acelerar. Vai dar certo!

Resposta

Use inicialmente o método da bisseção em [-1,0] (pois f(-1)>0 e f(0)=-1<0) para engaiolar a raiz negativa; aplique bisseção até uma precisão moderada (por exemplo |b-a|<10^{-3} ou |f(m)| pequeno) e então refine com Newton-Raphson usando
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-0,4e^{0,4x}\cos(\pi x)+\pi e^{0,4x}\sin(\pi x)
e x_{0} igual ao último ponto médio da bisseção.

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