Explique o que é capacidade calorífica e por qual mecanismo se manifesta nos metais.

Passo 1

O enunciado pede para você entender o que é capacidade calorífica e explicar por qual mecanismo ela se manifesta nos metais. O conteúdo envolve termodinâmica (calor e temperatura), teoria da equipartição de energia, modelos quânticos de vibração do retículo (fônons) e o modelo de elétrons livres em metais.

Passo 2

Capacidade calorífica é a quantidade de calor \delta Q necessária para elevar a temperatura de um corpo em dT. Formalmente definimos
C = \frac{dQ}{dT}\,.
Quando dividimos por massa m ou quantidade de matéria n, obtemos o calor específico c c = C/m ou o calor molar C_\mathrm{m} = C/n.

Passo 3

No modelo clássico de equipartição, cada grau de liberdade guarda energia média \tfrac12kT. Num cristal tridimensional cada átomo tem três modos de vibração, cada modo com energia cinética e potencial, totalizando energia interna
E_\text{fônon} = 3NkTô
para N átomos. Assim, a capacidade calorífica a volume constante fica
C_V^\text{fônon} = \frac{dE_\text{fônon}}{dT} = 3Nk \approx 3Rôô
por mol, o famoso resultado de Dulong–Petit.

Passo 4

Na prática, como as vibrações atômicas são quânticas, o modelo de Debye corrige isso: a baixas temperaturas C_V^\text{fônon}\propto T^3ô, e em temperaturas perto ou acima da temperatura de Debye recuperamos o valor clássico 3R. Em temperatura ambiente a maior parte da contribuição vibracional já atingiu o limite de Dulong–Petit.

Passo 5

Além dos fônons, metais têm elétrons livres que também armazenam energia. Pelo modelo de gás de elétrons de Fermi, apenas os elétrons dentro de uma faixa de ordem kT em torno do nível de Fermi se excitam termicamente. Isso dá uma contribuição linear em T:
C_V^\text{el} = \gamma\,T,
com \gamma dependente da densidade de estados no nível de Fermi. Esse termo eletrônico é geralmente pequeno comparado ao termo fônon em temperatura ambiente, mas domina a baixas temperaturas.

Resposta

A capacidade calorífica é a razão \tfrac{dQ}{dT}, ou seja, o calor necessário para mudar a temperatura. Nos metais ela se manifesta por dois mecanismos principais:
  1. Vibrações quânticas do retículo (fônons), que em altas temperaturas dão a contribuição clássica C_V\approx3R por mol e em baixas temperaturas seguem C_V\propto T^3.
  2. Excitação térmica dos elétrons livres próximos ao Fermi, gerando uma contribuição C_V^\text{el}=\gamma T.

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