Explique o conceito de degeneração dos níveis de energia para uma partícula em uma caixa cúbica.
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre o conceito de degeneração dos níveis de energia para uma partícula em uma caixa cúbica. Isso está dentro da mecânica quântica, onde analisamos como as partículas, tipo elétrons, têm níveis de energia determinados quando estão confinadas em uma “caixa” com paredes rígidas. Para entender isso, a gente precisa saber como calcular esses níveis de energia e ver quando diferentes estados quânticos acabam tendo a mesma energia, ou seja, quando ocorre a degeneração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, quando uma partícula está confinado em uma caixa cúbica (uma caixa com todos os lados de mesmo tamanho), a energia dela depende de três números quânticos: $ n_x $, $ n_y $ e $ n_z $. Esses números representam as quantidades de movimento da partícula em cada direção do espaço.
Passo 3
A energia total $ E $ da partículas nessa caixa é dada por uma fórmula específica:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ L $ é o tamanho da caixa em cada dimensão. Os números $ n_x $, $ n_y $, e $ n_z $ são números inteiros positivos que indicam os diferentes modos de oscilação da partícula em cada direção.
Passo 4
Agora, a degeneração acontece quando diferentes combinações desses números quânticos resultam na mesma energia total. Ou seja, mesmo mudando os valores de $ n_x $, $ n_y $ e $ n_z $, se a soma dos quadrados desses números for igual, a energia será a mesma.
Passo 5
Por exemplo, considere as seguintes combinações de números quânticos:
- $ (n_x, n_y, n_z) = (1, 2, 2) $
- $ (n_x, n_y, n_z) = (2, 1, 2) $
- $ (n_x, n_y, n_z) = (2, 2, 1) $
Para todas essas combinações, a soma $ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9 $. Portanto, todas essas configurações têm a mesma energia, mostrando que o nível de energia correspondente é degenerado.
Resposta
Então, a degeneração dos níveis de energia em uma caixa cúbica ocorre quando diferentes combinações de números quânticos $ (n_x, n_y, n_z) $ resultam na mesma soma dos quadrados desses números, levando a energias iguais para múltiplos estados quânticos. Isso significa que existem vários estados possíveis com a mesma energia para a partícula confinada na caixa cúbica.